本文发表于《IEEE Transactions on Antennas and Propagation》期刊2007年10月第55卷第10期，作者是Stefania Monni、Giampiero Gerini、Andrea Neto（均来自荷兰应用科学研究组织TNO国防、安全与物理研究所）和Anthon G. Tijhuis（来自荷兰埃因霍温理工大学）。研究提出并扩展了一种基于积分方程形式的多模等效网络方法，用于设计和分析多层频率选择表面。该方法旨在解决FSS与波导阵列天线集成分析中的计算效率和设计灵活性问题，通过将多层结构中的每一层及层间过渡表征为广义阻抗或导纳矩阵，提供了一种模块化、高效的建模途径。
该研究的学术背景主要涉及天线与传播领域，特别是周期性结构和频率选择表面的分析与设计。频率选择表面是由周期性排列的金属贴片或孔径构成的平面阵列，具有随频率或入射角变化的特定滤波特性，常用于塑造天线的频率或角度响应。传统上，FSS与天线常被作为独立结构进行研究，忽略了它们之间的相互影响。将FSS与目标天线从设计之初就进行集成，有助于实现更紧凑的结构、适应平台外形以降低雷达散射截面，并可能集成更多功能，如实现改进的匹配层和防止干扰。然而，分析多层FSS（尤其是与波导阵列集成时）的电磁散射问题面临挑战：要么需要同时求解所有层的耦合积分方程组，计算复杂；要么采用模块化方法分别处理每一层。后者计算上更便利，且能实现通用软件工具，以分析任意数量的层。基于等效微波网络的技术是实现这种模块化分析的理想选择。这些技术最初用于研究波导不连续性，后通过布洛赫-弗洛凯定理扩展到周期性分层结构。它们从每一层的场模态展开出发，将每一层及层间过渡用等效网络表示，最后级联所有网络以表征整个结构。这些网络的矩阵形式取决于表征结构性能所用的参数类型，如广义散射矩阵、广义阻抗矩阵或广义导纳矩阵。虽然GSM方法常见，但GIM或GAM表示因其物理意义明确而更具吸引力。然而，经典的GIM/GAM方法在级联大型矩阵时可能遇到数值稳定性问题。本研究扩展了一种最初为波导结开发的多模等效网络方法，即基于积分方程形式的多模等效网络方法，用于分析包含任意形状、零厚度孔径和贴片的平面多层FSS结构，其目标是直接计算一个仅包含“可及模式”的等效阻抗矩阵表示，从而避免数值不稳定性，并利用其固有的弱频率依赖性实现高效的宽带分析。
研究的核心是详细阐述IEMEN方法的理论框架及其在贴片型和孔径型FSS分析中的具体应用。其工作流程和原理可概括如下：首先，将无限周期相控阵列中的电磁场传播问题，等效为在具有阵列单元截面、满足周期性边界条件的相移壁波导中的传播问题。对于每个均匀波导区域（不连续性之间的不变区域）和不连续性，都推导其多模阻抗或导纳矩阵表示。关键在于引入了“可及模式”与“局域模式”的概念。可及模式是指在相邻不连续性之间发生相互作用的模式，不仅包括传播模式，也包括低于截止的模式；其余的高阶模式则称为局域模式。通过选择终端平面，可以确保在终端平面上，场分布能够以有限的、预先设定精度所需数量的可及模式来准确描述，这些模式的系数成为问题的基本未知量。局域模式仅在不连续性附近存储无功能量，不影响终端平面的场。IEMEN方法的核心思想是，虽然在不连续性处需要更多模式来完整表示场，但这些局域模式对终端平面场分布的贡献仍然可以通过可及模式的系数（基本未知量）来表达。这就允许直接求解一个具有“缩减核”的积分方程来获得仅包含可及模式的等效网络，无需额外的矩阵操作。
针对贴片型FSS，研究给出了基于电场积分方程的详细推导。如图3(a)所示，在贴片表面施加总切向电场为零的边界条件。将总电场分为可及模式和局域模式两部分的贡献，并定义一个仅包含局域模式贡献的“非可及”周期性并矢格林函数。通过将未知的感应电流用一组基函数展开，并利用可及模式电压作为基本未知量的特性，最终导出了一个缩减核的EFIE，其激励项是可及模式的电场，核函数是非可及的格林函数。求解该积分方程得到电流展开系数后，通过计算切向磁场差在可及模式上的投影，最终导出一个多模导纳矩阵，该矩阵以并联形式连接到与两侧介质区域可及模式相关的传输线上，如图4所示。这个导纳矩阵的元素可以通过求解积分方程后，将得到的电流分布投影到弗洛凯模式上而获得。
对于基于孔径的FSS，推导过程是互补的。此时问题以磁场积分方程形式化，未知量是孔径上的等效磁流，最终的等效网络是一个多模阻抗矩阵，同样并联连接到可及模式的传输线上。该方法同样可以直接得到一个仅包含可及模式的广义阻抗矩阵。
在数值实施方面，研究采用矩量法求解积分方程。文中特别讨论了缩减核带来的两个影响：1. 由于从核中提取了可及模式，使得激励项难以被未知电流匹配，可能导致矩量法矩阵的条件数升高，因而需要更高精度地计算矩阵元素以确保解的准确性；2. 由于提取了频率依赖性最强的低阶模式，剩余的核函数具有更弱的频率依赖性，这使得矩量法矩阵的元素及最终得到的等效导纳/阻抗矩阵元素都是频率的缓变函数。这一特性是IEMEN方法的一个重要优势，使得矩阵元素可以在更大的频率区间内进行插值，从而极大地提高了宽带分析的效率。此外，对于某些结构（如印制在很薄介质板上的FSS），为了平衡计算复杂度和精度，可以只提取传播模式作为可及模式，而将其他接近截止的模式贡献合并到考虑了介质层厚度的多层谱格林函数核中。
研究通过多个数值算例验证了IEMEN方法的有效性和优势。首先，模拟了一个印制在介质板上的无限周期十字偶极子阵列的功率反射系数，与文献中基于GSM方法的结果吻合良好。其次，分析了嵌入介质板中的耶路撒冷十字贴片FSS在特定入射角下的反射系数幅度，结果与经典著作中的结果高度一致。接着，研究了一个由三层相同矩形缝隙屏组成的FSS结构的传输特性，分别采用将厚缝隙视为波导段（提取6个可及模式）和将缝隙视为零厚度屏（提取3个可及模式并求解MFIE）两种方式进行模拟，计算结果与文献中的计算和测量结果趋势一致。这些验证表明，IEMEN方法能够准确处理不同类型的FSS结构。此外，图12和图13展示了对三层缝隙FSS计算得到的等效散射矩阵和导纳矩阵元素，直观地证明了导纳矩阵元素确实比散射矩阵元素具有更平滑的频率响应，更容易进行插值。
研究的主要结论是，成功将最初用于分析多层波导结构的IEMEN方法扩展到了由零厚度金属单元构成的FSS分析中。该方法直接导出了仅依赖于可及模式的广义阻抗或导纳矩阵表示，无需额外的矩阵操作。相对于其他基于等效网络表示的方法，IEMEN方法具有两大显著优势：首先，当需要考虑大量可及模式时，尽管缩减核可能导致矩量法矩阵条件数较高，需要在计算矩阵元素时保证更高精度，但这一问题在IEMEN方法中是在求解积分方程时直接面对的，而在基于GSM的方法中，只有在最后从散射矩阵推导GAM或GIM时才会显现，可能导致更隐蔽的误差。其次，由于提取了可及模式，矩量法矩阵和导纳/阻抗矩阵元素是频率的缓变函数，使得该方法特别适合频率插值，这对于宽带分析和综合问题非常有利。此外，直接推导（缩减的）GAM和GIM本身就是一个有用的理论工具，因为这些矩阵与电磁场量成正比，例如在评估非周期源在周期结构存在时的格林函数时，可以直接基于多模导纳或阻抗矩阵获得场的谱表示。
本研究的重要亮点在于其方法的创新性和实用性。重要发现包括：明确了通过求解缩减核积分方程可以直接获得稳定的、仅含可及模式的等效网络参数；并揭示了该方法下导纳矩阵元素具有缓变的频率特性。方法的新颖性在于将波导结分析中的可及/局域模式概念与积分方程结合，并应用于FSS这一平面周期结构，形成了一套系统且高效的模块化分析流程。研究对象的特殊性在于面向复杂的多层FSS与波导阵列的集成设计问题，这是实现紧凑、多功能天线系统的关键。
研究的价值体现在其科学价值和应用价值两方面。在科学上，它为周期性结构的网络化分析提供了一种新的、物理意义清晰的严格框架，深化了对FSS电磁响应的理解，特别是明确了等效网络参数的频率行为。在应用上，该方法作为一种高效的计算工具，能够显著加速多层FSS的宽带设计和优化过程，对于需要精确控制频率响应和角度特性的先进天线系统、雷达系统以及低可观测平台的设计具有重要意义。文中还提及了该方法在考虑介质损耗等方面的扩展潜力，并指出了其在分析非周期源与周期结构相互作用等更广泛问题中的应用前景。