本文是 Stanford University Ginzton Laboratory 的 David A. B. Miller 教授作为独立作者发表于 Science 期刊的研究论文，题为 “Why optics needs thickness”，于 2023 年 1 月 6 日发表在 Science 第 379 卷第 6627 期。该研究属于光学与波动系统基础理论领域，旨在回答一个长期未被定量解答的问题：光学系统为何需要厚度，以及在给定的光学功能下，所需的最小厚度是多少。
现代微纳加工技术使得人们可以设计和制造远比传统透镜、反射镜和棱镜复杂的光学器件，例如超表面（metasurface）和空间板（spaceplate）。这些平面光学元件能够在极薄的尺度内实现波前调控、成像和数学运算等功能。然而，设计的复杂性使得研究者难以预先判断某一功能在物理上是否可行，以及所需的最小器件尺寸是多少。
此前，从衍射理论出发，人们已经理解光学系统的横向尺寸（如透镜直径或孔径面积）需要随着分辨率或像素数的增加而增大。但关于光学系统在纵向（厚度方向）上的基本需求，一直缺乏相应的基础理解。Miller 在这项工作中提出，光学系统之所以需要厚度，其根本原因之一是一种被称为“重叠非局域性”（overlapping nonlocality, ONL）的现象。
所谓非局域性（nonlocality），是指输出面上某一点的场不仅取决于输入面上对应点的场，还取决于输入面上多个其他位置的场。若不同输出点所依赖的输入区域之间存在重叠，则形成重叠非局域性。Miller 的核心观点是：这种重叠非局域性要求光信号在结构内部进行横向通信，而横向通信通道的数量直接决定了光学系统所需的最小厚度或横截面积。
该研究并非基于实验测量，而是一套严格的理论分析框架。其核心步骤可以概括如下。
首先，Miller 定义了一个横向分割面（dividing surface），该面在数学上同时穿过输入面和输出面，将系统分为左右两部分。对于成像系统，输入面为透镜表面，输出面为像素传感器阵列。将输入面和输出面各自分成左右两半后，可以统计从输入面右半部分到输出面左半部分的通道数 (c{rl})，以及反向的通道数 (c{lr})。由于系统满足互易性（reciprocity），反向通道数也需要被计入。总通道数 (c) 定义为
[ c = c{rl} + c{lr} ]
对于具有 (n) 个像素的成像系统，推导得到 (c = n/2)。这一结果来源于成像系统的基本工作要求，与具体的光学设计或器件尺寸无关。
其次，为了将通道数 (c) 转化为最小厚度或最小横截面积，Miller 使用了衍射启发式（diffraction heuristics）。假设光在折射率为 (n_{\max}) 的介质中传播，波长为 (\lambda_0)，那么在一个窄缝孔径中，沿一个横向方向每 (\lambda0 / 2n{\max}) 的距离可以支持一个独立的传播通道。若实际设计中只能利用全部角度范围的一部分，定义角度利用因子 (a)（0 到 1 之间），则一维情况下所需的最小厚度为
[ d \geq \frac{c \lambda0}{2 a n{\max}} ]
对于二维横截面，所需最小面积为
[ A \geq c \left( \frac{1}{a} \frac{\lambda0}{2 n{\max}} \right)^2 ]
这两个公式构成了该研究的核心定量结论。Miller 也指出，这些结论来源于衍射启发式，并非严格证明没有任何结构可以超越该极限，但它们与常见波导模式数等典型行为一致，并且在已有优化设计中得到了近似验证。
对于更一般的光学器件，不一定存在像素化的输出面。此时，系统的输入输出关系由一个线性核函数（kernel）描述。Miller 提出使用奇异值分解（singular value decomposition, SVD）来严格计算重叠非局域性通道数 (c)。具体做法是，首先选择输入面和输出面上的采样点，构成描述系统响应的矩阵 (D)。然后根据分割面位置，将该矩阵截断为右上象限 (D{rl})（对应从右侧输入到左侧输出的耦合）和左下象限 (D{lr})（对应反向耦合）。对 (D{rl}) 做奇异值分解，统计其奇异值中幅度超过某一小阈值的个数，即为 (c{rl})；对 (D{lr}) 同理得到 (c{lr})。最后相加得到总通道数 (c)。对于空间不变系统（space-invariant system），核函数只依赖于输入点和输出点的相对位移，计算可以进一步简化。
在成像系统方面，对于一个一维成像器，若水平方向有 (n_x) 个像素，则 (c = n_x / 2)，因此最小厚度为
[ d \geq \frac{nx \lambda}{4 a n{\max}} ]
对于二维成像器，若总像素数为 (n)，横向特征宽度为 (L)，横截面积为 (A \sim Ld)，则最小厚度为
[ d \geq \frac{n}{2L} \frac{1}{a^2} \left( \frac{\lambda}{2 n_{\max}} \right)^2 ]
Miller 将这些理论极限与已有的优化设计进行了比较。一个 1200 万像素的智能手机相机，如果采用典型的最大光线角（小于 45°），即使透镜本身厚度为零，所需的最小厚度也约大于 1.7 mm。而实际智能手机相机的厚度约为 5 mm，说明该理论极限与实际设计之间差距约在 3 倍以内。另一个例子是多层空间板设计，其设计厚度为 44.6 个波长，而理论预测的极限为 30 个波长，同样非常接近。
在一般的线性光学器件方面，Miller 通过具体例子展示了如何利用 SVD 计算 (c)。对于实现五阶中心有限差分导数的像素化系统，输入点 8、9、10 与输出点 5、6、7 之间的耦合矩阵为
[ D_{rl} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ -4 & 1 & 0 \ 5 & -4 & 1 \end{bmatrix} ]
该矩阵的奇异值为 7.568、1.684 和 0.080，因此 (c{rl} = 3)。反向矩阵 (D{lr} = -D{rl}^T) 具有相同的奇异值，因此 (c{lr} = 3)，总通道数 (c = 6)。值得注意的是，第三个奇异值远小于前两个，说明若对近似精度要求不高，可能只需要 (c = 4) 个通道。这说明该理论能够区分不同精度要求下的最小尺寸。
在连续系统方面，Miller 分析了“x 乘以高斯”（x times Gaussian）核函数，该核函数可以实现平滑的微分操作。在数值孔径 NA 为 0.15 的条件下，采样点间距约为 3.33 个波长。结果表明，无论核函数的空间尺度如何变化，奇异值的相对分布基本不变，前六个奇异值之后迅速衰减。因此，对于该核函数，实际所需的通道数 (c) 约为 6。对应的最小厚度约为 2 个波长，而文献中已有的设计厚度约为 6 个波长，说明该设计已经接近理论极限。
该研究的核心结论是：光学系统之所以需要厚度，是因为重叠非局域性要求光信号在结构内部进行横向通信。所需横向通道数 (c) 可以从器件的数学描述中严格推导出来，而不依赖于具体设计。结合衍射启发式，可以进一步得到最小厚度或最小横截面积的定量极限。
这一理论的科学价值在于，它首次给出了一个普适的定量框架，将光学功能的数学描述与器件的最小物理尺寸联系起来。该框架不仅适用于成像系统、空间板、超表面等光学器件，还可以推广到射频、声学等一般波动系统。文章还指出，对于大重叠非局域性的应用，虽然整体上仍需要一定厚度，但大部分厚度可能只需要用于横向传输光通道，而这些通道可以是空的、均匀的或相对简单的波导结构。这一结果为平面光学系统的设计提供了重要的理论指导。
文章的亮点主要体现在以下几个方面。第一，提出了重叠非局域性这一新概念，并将其与光学厚度需求直接关联。第二，建立了从数学描述到物理尺寸极限的完整推导流程，具有高度的普适性。第三，通过多个实际例子验证了理论极限与已有优化设计之间的一致性，表明该理论具有实用价值。第四，该理论不依赖于具体材料或波长，适用于光学、射频和声学等多种波动系统，具有广泛的跨领域应用前景。