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作者和发表信息

这项研究由 Guozheng Lu, Wei Xu 和 Fu Zhang 联合完成，三位作者均隶属于香港大学机械工程系。该论文发表在 IEEE Transactions on Industrial Electronics 上，属于该期刊 2023 年 9 月（Volume 70, No. 9）的一期，数字对象标识符为 10.1109/TIE.2022.3212397。

学术背景

随着机器人技术的快速发展，移动机器人和无人系统的高性能轨迹跟踪控制显得尤为关键。在轨迹跟踪领域，模型预测控制（Model Predictive Control, MPC）近年来成为一个重要的研究方向。MPC 的优势在于其能够基于系统动态模型对未来行为进行预测，从而生成当前的最优输入决策，使其成为自主驾驶、无人机（UAV）、移动机械臂与多足机器人等领域的高性能控制工具。

然而，传统MPC的设计假设系统状态位于欧几里得空间 ( R^n )，这与实际机器人系统常处于曲率空间（如流形 Manifolds）之间存在矛盾。例如： - Lie 群（Lie Group）：卫星的旋转工作空间位于 ( SO(3) )，而无人机及机械臂的刚体旋转和位移空间属于 ( SE(3) )。 - 二维球面（2-sphere, S2）：如三维摆的运动状态。 - 二维曲面（2D Surface）：如地面车辆的运动受限于平面或曲面。

在考虑这些广泛的流形约束下，现有的MPC方法往往使用最小参数化或过参数化。然而，最小参数化存在奇异性问题，而过参数化则引入额外约束，加大了控制器的设计和调参难度。

本研究提出了一种新颖的无奇异性、最小参数化的流形模型预测控制框架（On-Manifold MPC Framework），为轨迹跟踪任务提供了一种兼具理论与实际应用价值的解决方案。

研究流程

方法框架与理论设计

研究的核心是提出和开发了以下核心理论框架： 1. 系统状态的映射与局部坐标表征（Local Coordinates）：通过引入局部坐标 ( \phi_x )，研究解决了如何最小化参数化、避免奇异性的难题。该映射确保机器人状态能够被自然“嵌套”在参考轨迹的流形坐标附近，生成局部非线性系统。

1. 定义符号操作： ⊕ 和 /：作者引入了两种符号操作（符号化的运算方法 ⊕ 和 /）用于描述状态演化过程与流形上的误差传播。这些符号在不同类型的流形（如 ( R^n, SO(3), S2 )）上有特定定义，并具备广泛适用性。

2. 误差状态系统及其线性化： 为了避免流形约束对优化问题的干扰，研究将机器人状态映射至误差状态 ( \delta x )，通过泰勒展开线性化误差系统，使其转化为普通非线性系统，进而能够采用已有的MPC设计经验。

3. 统一形式的MPC设计： 研究编制了通用的MPC优化公式，该公式适用于所有分流形的机器人系统。公式如下： [ \min_{uk} \sum{k=0}^{n-1}(|\delta xk|{Q_k}^2 + |\delta uk|{R_k}^2) + |\delta xn|{P_n}^2 ] 并针对具体不同的流形，提供了符号操作对应的映射及线性化矩阵表达。

实验平台与具体实现

1. 四旋翼无人机（Quadrotor UAV）：

   • 模型设定：基于无人机工作在 ( SE(3) = R^3 \times SO(3) )，状态包括位置、速度与姿态等参数。
   • 控制实验：基于标准曲线轨迹测试（如螺旋上升、翻转圆轨迹），无奇异性的MPC设计展现了对高动态轨迹（姿态高达 360°）的精确跟踪能力，其误差范围分别为：位置误差 ( <0.1 m )，速度误差 ( <0.1 m/s )。

2. 无人地面载具（UGV）：

   • 实验环境：在不平整表面上（约定为流形 ( S \times SO(2) )）以恒定速度进行路径跟踪试验。
   • 控制指标：MPC通过实时计算纵向速度和偏航控制信号，具有快速收敛性和跟踪稳定性，误差表现为位置 ( \approx 0.2m )，偏航角度误差 ( \approx 0.7° )。

这些实验均验证了提出流形MPC框架的高效性与适通用性。

研究结果与分析

1. 理论实现与创新点： 提出的最小参数化和符号化方法（ ⊕ 和 /）彻底避免了传统MPC设计中因最小参数化奇异性或复杂约束带来的问题。
2. 实验验证： 在 ( SE(3) ) 与 ( S \times SO(2) ) 两种不同流形平台上的实时测试均验证了算法的有效性，显示出高度的适用范围。
3. 效率和实用性： 该框架兼容各种现有非线性系统分析技术，其 MPS 优化平均计算时间不到 2 ms，完全满足实际工业环境的实时需求。

研究意义与价值

这项研究填补了现有MPC设计在流形约束问题上的理论空白。其意义体现在： - 理论价值： 构建了统一的机器人流形控制方式，为学术界提供了一种无奇异性、高鲁棒性的模型预测控制解决方案； - 应用价值： 实验验证了框架的适用性，从无人机到地面车应用场景，均展示了显著的价值，特别是对高动态操作或非欧空间机器人而言。

研究亮点

1. 无奇异性： 在各类复杂流形上均实现了运动控制，避免了传统方法中的奇点问题。
2. 广泛适用性： 提出的 (\mathbf{On-Manifold MPC}) 对多种流形均适用，无需针对特定系统的额外适配。
3. 工作量优化： 提出的符号化方法实现了流形约束与系统动力学的完全隔离，大幅减少控制设计的复杂度。

总结

这项研究以严谨的理论推导为基础，结合实验验证，提出了一个通用、高效、鲁棒的MPC框架。不仅促进了流形相关的控制学术研究，还为无人机和地面机器人等领域的轨迹跟踪控制提供了新的解决方案。这种方法在未来或可扩展至医疗机器人、仿人类机器人等需要高精度约束控制的领域，推动系统控制理论的进一步发展。