本文的研究由 Andreas Thalhamer、Mathias Fleisch*、Clara Schuecker、Peter Filipp Fuchs、Sandra Schlögl 以及 Michael Berer 共同完成。作者单位包括奥地利莱奥本的聚合物技术中心有限公司以及蒙塔努尼韦西塔特莱奥本大学的聚合物工程与科学系。这项研究发表在期刊《Advances in Engineering Software》2025年第199卷上，文章编号为103817，于2024年11月12日在线发布。
该研究的学术背景聚焦于机械超材料领域，特别是基于单胞周期性架构的超材料。这类材料因其独特的几何设计而展现出不寻常的力学特性，如负泊松比行为、高刚度重量比以及高度的可定制性。研究的核心动机源于超材料优化面临的一个关键挑战：为了实现预定的变形响应而优化单胞在部件内的分布时，确定具有不同属性的区域（即材料区域）的适当数量和分布是一个重大难题。传统方法通常采用固定且均匀大小的材料区域离散化方案，这需要预先了解所需的离散分辨率，否则可能导致耗时的试错、计算量增加或精度降低。因此，本研究旨在开发并验证一种可变材料区域离散化方案，该方案能够在优化过程中自动更新离散化分辨率，从而提升超材料优化过程的效率和精度。
研究的总体目标是扩展一个先前提出的、基于有限元模拟的超材料优化框架，通过集成一个在优化过程中监控和调整材料区域离散化的方案，以更高效地实现自定义的全局弹性变形行为。具体研究对象是一种二维三-反手性超材料，优化目标是使其在载荷下的侧向变形与预定的目标变形相匹配。研究通过比较使用与不使用新型MSD更新方案的优化结果，来评估该方案在效率和精度上的改进。
详细的研究流程可以概括为以下几个主要部分： 第一部分：优化框架的建立与扩展。 本研究的基础是一个先前开发的优化框架，该框架包含两个主要部分：材料预处理和优化循环。在材料预处理阶段，通过数值均匀化方法和插值方案，建立了单胞几何参数（本研究中的lx1和lx2）与其均匀化后全弹性刚度张量之间的高效关联。这一步骤计算成本较高，但只需为给定超材料执行一次，生成的插值对象能在后续优化中快速关联参数与属性。在优化循环部分，框架采用黑盒优化方法，其中有限元模拟作为黑盒，输入是单胞几何参数，输出是模拟变形与目标变形之间的误差。框架将部件划分为多个材料区域，同一区域内的单胞具有相同参数，从而减少了优化变量数量。在本研究中，对该框架进行了两项关键扩展：1）将原有的商业优化工具LSOPT替换为用Python实现的遗传算法，这主要是为了方便与新的MSD更新方案集成；2）开发并集成了前述的MSD自动更新算法。
第二部分：MSD更新方案的具体实施。 这是本研究的核心创新点。MSD更新算法被集成到遗传算法流程中，其核心思想是将材料区域的离散分辨率与部件的一个变量场（在本研究中，选为单胞几何参数的梯度）联系起来。算法预设了多个离散化“层级”，最高层级（最粗糙）定义了最少数量的材料区域。优化总是从最粗糙的层级开始。算法流程如下：1）初始化：基于部件尺寸和用户定义的最小/最大MSD尺寸，创建数据结构来存储和管理不同层级的材料区域信息。2）优化迭代：GA运行指定的代数（本研究设为75代），进行选择、交叉、变异和适应度评估。适应度由模拟变形与目标变形的均方误差的倒数定义。3）MSD评估与更新：GA运行指定代数后，暂停并将当前最优变量集传递给MSD算法。MSD算法计算每个材料区域内优化变量的空间梯度。4）决策与细化：将计算得到的梯度与用户定义的梯度限值（本研究对lx1和lx2均设为1.0 mm/材料区域）进行比较。如果某个材料区域内任意变量的梯度超过限值，并且该区域尚未处于最精细层级，则将该区域在MSD层级中向下细化一级（即将其分割为更小的区域）。新生成区域的变量值继承自其“父”区域。5）循环与终止：更新后的材料区域和变量被送回GA，作为新的初始种群继续优化。此过程循环进行，直到满足GA的停止准则（如达到最大代数、适应度饱和或达到适应度限值）或MSD算法的停止准则（如连续多次更新未发生细化）。
第三部分：仿真设置与测试案例。 为了验证扩展框架和MSD方案的有效性，研究设计了一系列测试。研究对象是一个尺寸为150mm x 330mm的二维矩形部件，采用平面应变四边形单元进行网格划分。材料属性通过前述插值对象根据每个材料区域的lx1和lx2值赋予各向异性弹性模型。载荷为施加在顶部的y向位移，以产生全局拉伸应变。侧向变形定义为部件右侧边缘在x方向的位移。研究进行了两组测试：第一组是与原始框架（使用LSOPT）的性能对比。设置了两种固定MSD（1x6和3x6区域）以及一种可变MSD（初始为4x16区域，3个层级）的模型，使用相同的目标变形进行比较。第二组是MSD优化能力测试。设置了三个具有不同复杂度目标变形（单步、梯形、复杂）的模型，每个模型都沿y方向预设了1x32个区域和3个MSD层级。对于每个目标，均运行三个变体：仅使用GA且固定MSD（1x8区域）的基准变体、使用MSD更新且以基准变体适应度为停止限的变体（MSD-fit）、以及使用MSD更新但运行完整1000代的变体（MSD-gen），以分别评估运行时间改进和最终适应度改进。
研究取得的主要结果如下： 在性能对比测试中，仅使用Python GA（无MSD更新）在固定MSD情况下，其优化效率低于原始的LSOPT框架，达到相同适应度所需时间更长。然而，当引入MSD更新方案后，情况得到显著改善。对于具有3x6固定区域的模型，原始LSOPT框架和Python GA框架都能较好地匹配目标变形，但GA耗时更长。而在使用可变MSD（4x16区域，3层级）并启用MSD更新的测试中，新框架在达到与原始框架相同适应度（15.15）所需的时间从5111秒大幅减少到1392秒。当运行完整1000代后，新框架（MSD-gen变体）的最终适应度（19.2）也超过了原始框架。收敛性分析表明，MSD更新方案在首次细化（从3个区域增至16个区域）后，适应度迅速提升。变量分布图显示，启用MSD更新的方案得到了相似的变量分布，且总体上降低了变量的空间梯度，尽管个别单胞的梯度可能增加。
在MSD能力测试中，针对三个不同的目标变形，MSD更新方案均展现出显著优势。对于单步变形目标，MSD-fit变体达到基准适应度的时间（8429秒）远少于基准GA变体（22356秒）。对于梯形变形目标，时间改进更为明显（1560秒 vs 19446秒），且MSD-gen变体的最终适应度（1.6）高于基准变体（0.99）。对于复杂变形目标，MSD-fit变体达到基准适应度的时间（4872秒）也远少于基准变体（22432秒）。在所有案例中，MSD更新方案都根据变量梯度自动细化了材料区域（分别增至22、13/19、20个区域），实现了局部分辨率的自适应调整。结果还表明，MSD方案的收敛行为因具体优化问题和目标变形而异，有时初期增长快，有时则持续稳定增长。
研究的结论是，本研究成功开发并验证了一种用于超材料优化框架的自动材料区域离散化细化方案。该方案通过将离散化分辨率与优化变量的梯度场关联，实现了在优化过程中的局部自适应细化。测试结果表明，该方案能够有效减少达到给定适应度所需的优化时间，并在多数情况下能获得更高的最终适应度。同时，由于以梯度作为控制场，方案还有助于降低优化后变量的整体空间梯度。这项工作是对原有优化框架的重要泛化，减少了用户在确定最佳材料区域数量时的参与度和试错工作，向实现超材料部件完全自动化优化设计迈出了关键一步。
本研究的亮点在于：1）方法创新：提出了首个集成到超材料黑盒优化流程中的可变材料区域离散化更新方案，实现了离散分辨率的自动化和自适应调整。2）效率提升：通过局部细化而非全局均匀高分辨率离散化，显著减少了不必要的优化变量和计算成本，提高了优化效率。3）流程集成：成功将MSD算法与遗传算法耦合，构建了一个模块化、可扩展的优化框架，为后续集成代理模型等进一步优化奠定了基础。4）实证充分：通过系统的对比测试（与原框架对比、不同目标变形测试、不同停止准则测试），全面评估了所提方案在缩短运行时间和提升优化精度两方面的有效性。
此外，研究也指出了未来方向：包括进一步优化遗传算法参数设置、探索集成代理模型以减少有限元模拟调用次数以降低总运行时间（尤其在3D模拟中），以及解决将优化后的均匀化材料区域反向映射为实际可制造的单胞几何结构所面临的挑战（如连接和过渡问题），以最终实现完整的、面向制造的超材料部件优化框架。