本研究由G. Liang和K. Chandrashekhara（通讯作者）来自美国密苏里科技大学（Missouri University of Science and Technology）机械与航空航天工程系完成，发表于2008年的《Engineering Structures》期刊，题目为《Neural network based constitutive model for elastomeric foams》（基于神经网络的弹性泡沫本构模型）。
弹性泡沫（elastomeric foams或hyperfoams）作为一种重要的低密度多孔材料，因其优异的能量吸收能力广泛应用于缓冲、包装等领域。其力学行为呈现高度非线性，尤其在压缩过程中分为三个阶段：小应变（%）下的线性弹性变形（由细胞壁弯曲主导）、应力平台阶段（细胞壁弹性屈曲）和高应变下的致密化阶段（细胞壁坍塌）。拉伸行为则分为线性弹性阶段和刚度骤增阶段（细胞壁定向排列）。传统本构模型（如Gibson-Ashby理论、Hill-Ogden应变能函数）虽然在压缩变形中表现良好，但在涉及拉伸或剪切时拟合精度不足，且参数校准复杂，稳定性较差。因此，本研究提出一种基于神经网络（neural network）的本构建模方法，旨在更准确地表征泡沫材料的多模式力学响应，并集成至有限元分析（FEA）中。
研究采用单隐藏层的前馈反向传播（feedforward backpropagation, FF-BP）神经网络，输入层为三个变量：偏量应变不变量（deviatoric strain invariants）$$ \bar{I}_1 $$、$$ \bar{I}_2 $$和体积比（volume ratio）$$ J $$，输出层为应变能密度（strain energy density）$$ U $$。隐藏层神经元数量为4–7个，激活函数为对数S型函数（log-sigmoid），输出层为线性函数。通过Levenberg-Marquardt反向传播算法训练网络，确保近似应变能函数及其一阶、二阶导数（用于计算Cauchy应力）和三阶导数（用于Abaqus用户子程序UHYPER）。
实验数据涵盖单轴压缩/拉伸、等双轴拉伸、平面剪切（纯剪切）、简单剪切和体积压缩五种变形模式，均转换为名义应变（nominal strain）和名义应力（nominal stress）。数据预处理包括：
- 单轴测试：通过体积比$$ J = \lambda_u \lambda_2^2 $$（$$ \lambda_u $$为轴向拉伸比）和偏量不变量$$ \bar{I}_1 $$、$$ \bar{I}_2 $$的表达式（式19）生成输入，应变能通过应力-应变曲线积分（式21）获得。
- 简单剪切：利用剪切应变$$ \gamma $$与主拉伸比$$ \lambda_1, \lambda_2 $$的关系（式31），输入$$ \bar{I}_1 = \bar{I}_2 = 3 + \gamma^2 $$，输出应变能由剪切应力积分（式33）计算。
- 体积压缩：输入$$ \bar{I}_1 = \bar{I}_2 = 3 $$和$$ J = \lambda_v^3 $$，应变能由液压$$ p_v $$积分（式38）确定。
训练目标为均方误差低于1.0e-10，权重和偏置（表1、表3）最终编码至Abaqus子程序。
研究对比了神经网络模型与传统超泡沫模型（hyperfoam model，式3）的性能：
- 第一组数据（Abaqus手册）：仅含压缩和剪切数据。神经网络在剪切应变>15%时仍保持高精度，而三阶超泡沫模型（表2）仅在小应变范围内有效（图2–3）。
- 第二组数据（聚氨酯泡沫）：含拉伸、压缩和剪切数据。神经网络在拉伸和剪切全程（图4–6）均优于二阶超泡沫模型（表4），后者仅能拟合压缩行为。
- 应用验证：通过平面应变泡沫压痕仿真（图7–8），神经网络预测的水平和垂直反力（图9）更合理，尤其在涉及复杂应力状态的区域。
本研究的主要创新点在于：
1. 方法论突破：首次将神经网络用于可压缩弹性泡沫的应变能函数定义，通过数据驱动的非线性映射取代预设函数形式，解决了传统模型在多模式变形中的局限性。
2. 工程应用价值：模型可直接集成至Abaqus等商业软件，为泡沫组件的复杂工况仿真（如碰撞缓冲、密封设计）提供更可靠的本构工具。
3. 扩展性：框架适用于其他非线性材料（如橡胶、生物软组织）的本构建模，尤其对缺乏明确机理模型的材料具有普适性。
该研究为复杂材料本构建模提供了新的范式，兼具学术前瞻性和工程实用性。