本文属于类型b，是一篇发表于 Annual Review of Fluid Mechanics 的综述文章。

本文的作者是 Steven L. Brunton、Bernd R. Noack 和 Petros Koumoutsakos，他们分别来自 University of Washington、LIMSI-CNRS / Technische Universität Berlin 以及 ETH Zurich。该综述于2019年9月12日在线发表，收录于 Annual Review of Fluid Mechanics 2020年第52卷中。文章题为《Machine Learning for Fluid Mechanics》，系统梳理了机器学习（machine learning, ML）在流体力学中的历史脉络、核心方法、应用领域及未来挑战。

第一个核心观点是，流体力学与机器学习之间存在长期且常被忽视的历史渊源与互动。文章指出，早在20世纪40年代，统计学习理论的奠基人之一 Kolmogorov 便已将湍流视为其理论的重要应用对象。此后，从20世纪50至60年代的感知机（perceptron），到80年代反向传播算法（backpropagation）推动神经网络（neural network, NN）的复兴，再到最近深度学习的兴起，机器学习经历了数次起落，而这些波动同样影响了流体力学对它的采纳与期待。文章特别提及一个具有象征意义的历史片段：Lighthill 在1974年的报告中以组合爆炸论证批评人工智能，而这在某种程度上导致了“AI寒冬”；但讽刺的是，如今我们可以在互联网上观看 Lighthill 当年的演讲，同时由机器学习算法自动生成字幕。这一细节生动说明了技术能力的变化如何改变了问题的可行性边界。

第二个核心观点是，机器学习的三大分支——监督学习（supervised learning）、无监督学习（unsupervised learning）与半监督学习（semisupervised learning）——分别对应流体力学中不同性质的问题。文章详细阐述了这些学习范式的基本构造和代表性算法，并强调流体力学对学习算法提出了有别于传统图像识别或广告推荐等领域的要求。监督学习中最具代表性的方法是神经网络，尤其是深度网络与卷积神经网络（CNN）在图像与模式识别中取得的巨大成功。但作者强调，流体力学对时间序列建模需求更强，因此循环神经网络（recurrent neural network, RNN）及其改进型长短期记忆网络（long short-term memory, LSTM）对于流体问题尤为重要。无监督学习方面，文章将经典的本征正交分解（proper orthogonal decomposition, POD）与主成分分析（principal component analysis, PCA）重新解释为一种线性自编码器（autoencoder），这种观点将传统流体手段与神经网络框架连接起来，揭示了将线性降维自然扩展到非线性降维的路径。半监督学习则以生成对抗网络（generative adversarial networks, GAN）和强化学习（reinforcement learning, RL）为代表，它们通过博弈式或交互式的过程训练模型，更适合奖励信号稀疏、标记数据有限的流体控制与优化问题。

第三个核心观点是，在流动建模方面，机器学习提供了从流场特征提取到动力学建模的多层次工具。在降维方面，文章不仅回顾了 POD 的快照方法，还指出多层自编码器可以产生更紧凑的非线性嵌入，并提到早期在湍流近壁区利用深度网络从壁面信息重构流场的工作，这是在今天所称“深度学习”尚未普及之前的一次重要尝试。在聚类与分类方面，k-means 聚类被用于构建混合层相空间的低维马氏模型；神经网络和支持向量机（support vector machine, SVM）等分类器则被用于识别尾流形态、判断流动状态。在稀疏与随机化方法方面，压缩感知（compressed sensing）与随机化线性代数（randomized linear algebra）利用流场数据的低秩结构，可以显著减少测量量并加速分解计算。在超分辨率与流场清洗方面，CNN 和 GAN 已被用于根据低分辨率粒子图像测速（particle image velocimetry, PIV）数据推断高分辨率速度场，同时去除坏矢量并改善实验数据质量。在动力学建模方面，文章重点讨论了动态模态分解（dynamic mode decomposition, DMD）与 Koopman 分析框架。DMD 从时间序列数据中提取低维线性模型，而 Koopman 算子理论则通过合适的非线性坐标实现对非线性系统的全局线性表示。近年来，变分自编码网络与时间滞后自编码器等方法被用于自动发现 Koopman 坐标，这为高维复杂流动提供了一条有希望的建模路径。同时，文章也指出，神经网络本质上是内插器，外推能力有限，必须谨慎处理过拟合和物理一致性问题。稀疏回归与遗传编程等简约建模方法则因其出色的外推能力和模型可解释性而受到关注。关于湍流封闭问题，机器学习被用来构建 RANS 与 LES 中雷诺应力张量的修正模型，其中一种重要策略是以张量不变量和乘法层将伽利略不变性嵌入网络结构，从而保证学习模型满足基本物理对称性。

第四个核心观点是，在流动优化与控制方面，机器学习能够解决传统梯度方法难以处理的黑箱、多峰或昂贵评估问题。文章梳理了从 Rechenberg 早期利用随机变异与 Galton 板进行减阻实验，到现代进化策略（evolution strategies, ES）、遗传算法（genetic algorithm, GA）、协方差矩阵自适应进化策略（CMA-ES）以及信息几何优化（information-geometric optimization, IGO）的发展。此类算法在气动外形优化、扑翼推进、人工泳动体设计以及跨流式水轮机等方面已有众多应用。在反馈控制方面，神经网络曾被用于利用壁面传感器学习湍流边界层的减阻控制，而遗传规划（genetic programming, GP）则在风洞中学习多频开环激励与传感反馈控制律，展示出在相对较少的试验次数内获得有效控制策略的潜力。强化学习方面，文章强调近年来已在多个流体相关问题上取得进展，包括圆柱绕流振荡控制、滑翔机航程最大化、鱼类集群游动模拟以及微泳体最优运动设计等。强化学习的效果极其依赖状态、动作与奖励的设计，而这些设计需要深厚的流体力学知识。例如，鱼类侧线系统与鸟类视觉系统可以为传感器布置提供启发，而能量消耗与群内位置则可定义奖励函数。尽管强化学习在游戏中表现突出，其在流动问题中的计算代价依然高昂，这成为其广泛推广的主要障碍。

第五个核心观点是，机器学习在流体力学中的潜力巨大，但必须正视诸多未解决的问题。首先，许多用于图像识别或广告点击预测的任务只需追求高预测精度，而流体力学中的模型还必须具备可解释性（interpretability）、可推广性（generalizability）以及性能保证。其次，如何将流动问题的已知物理约束，如对称性、守恒律、边界条件，系统性地嵌入学习算法，仍是一个尚未解决的核心挑战。再次，文章提醒研究者，并非所有机器学习手段都应当依赖深度学习。在某些数据量较小、解释性要求高的场景下，稀疏识别、遗传规划或高斯过程（Gaussian process, GP）可能更为适合。最后，机器学习与流体力学结合的健康发展依赖于数据与软件开放、基准问题构建以及结果可复现性。作者认为，流体力学正进入一个以第一性原理与数据驱动分析相融合为特征的新阶段，这一融合不仅可能为长期悬而未决的流动问题提供新的解决方案，也会反过来推动机器学习本身的进步。

本文最重要之处在于，它并非单向地把机器学习视为解决流体力学难题的工具，而是从两个学科互动的视角出发，强调流体力学需求会反过来推动算法发展。文章对历史演进的重新梳理、对 POD 与自编码器等价性的阐释、以及对物理嵌入和稀疏建模等手段的强调，构成了其主要学术价值。这一综述为流体力学研究者理解机器学习的基本架构与潜在用途提供了清晰地图，也为后续研究在物理约束、强化学习和可解释性建模等方向的深化奠定了基础。