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连续时间状态空间非定常气动力建模及其在高效载荷分析中的应用

主要作者及机构
本研究由荷兰代尔夫特理工大学（Delft University of Technology）的Noud P. M. Werter（第一作者）、Roeland De Breuker和Mostafa M. Abdalla共同完成，发表于2018年3月的《AIAA Journal》（美国航空航天学会期刊）第56卷第3期，论文DOI为10.²⁵¹⁴⁄₁.J056068。

一、学术背景

研究领域
该研究属于飞行器气动弹性力学（Aeroelasticity）与计算流体力学（CFD）交叉领域，聚焦于非定常涡格法（Unsteady Vortex Lattice Method, UVLM）的改进与应用。

研究动机
现代飞机设计趋向于采用更轻质、更柔性的机翼以提升效率，但由此加剧的气动弹性问题（如突风响应、颤振）亟需高精度的非定常气动力模型。传统方法如二维非定常翼型理论、双线性格法（Doublet Lattice Method, DLM）和离散时间UVLM存在局限性：DLM需频域到时域的转换导致精度损失，而现有UVLM无法直接处理压缩性效应和非均匀尾流离散化。本研究旨在提出一种连续时间状态空间模型，克服上述限制。

理论基础
研究基于势流理论，通过Prandtl-Glauert变换将可压缩流动问题转化为不可压缩流动求解，并利用间断伽辽金法（Discontinuous Galerkin Method）离散尾流涡量输运方程。核心假设包括：小扰动条件、薄翼假设、固定尾流形状（忽略尾流卷曲）。

二、研究流程与方法

1. 模型建立

• 控制方程：从Prandtl-Glauert方程出发，忽略时间相关项后简化为拉普拉斯方程（式3），边界条件包括翼面流动相切条件（式5）和远场条件（式6）。
• 涡格法离散：机翼和尾流用涡环（Vortex Ring）单元离散，通过Kutta条件（式8）连接翼面与尾流涡强。创新点在于仅对空间离散，保留时间导数项，形成连续时间系统。
• 尾流涡量输运：采用间断伽辽金法离散涡量对流方程（式7），导出矩阵方程（式28），其中数值通量采用经典迎风格式（式22）。

2. 状态空间构建

将涡强γw和攻角扰动α作为状态变量，建立连续时间状态空间系统（式31-32）：
- 状态方程：$\dot{x} = A{ss}x + B{ss}u$
- 输出方程：$y = C{ss}x + D_{ss}u$
该系统支持非均匀尾流离散和任意翼型几何，可直接与结构动力学耦合。

3. 可压缩流扩展

通过Prandtl-Glauert变换（$\bar{x}=x/\sqrt{1-M^2}$）将可压缩边界条件转换为等效不可压缩问题求解（式11-12），适用范围为中等马赫数（M<0.7）和低减缩频率（k）。

4. 验证与应用

• 验证案例：
  
  • 二维平板谐振荡（图4）：与Theodorsen理论解对比，k=0.¹⁄₀.4时误差%，k=1.0时因尾流离散误差升至10%。
    
  • 矩形翼突加响应（图5a）：与Jones结果吻合，初始升力较高反映有限加速率效应。
    
  • Goland机翼突风响应（图5b）：与Wang等UVLM结果一致性达99%。
    
• 可压缩性分析（图6）：与Lin-Iliff封闭解对比显示，k=1、M=0.8时相位误差约10度，振幅误差%。
  
• 突风分析应用：针对后掠锥形翼（表1），展示非均匀尾流离散（图9）可将状态变量减少75%而精度损失%。

三、主要结果

1. 模型精度：在低减缩频率（k<0.4）下与经典理论误差%，适用于常规飞行工况（图4-5）。
   
2. 计算效率：通过自适应尾流网格（式35）和时间步长（图8），相同精度下模型规模可缩减4倍。
   
3. 可压缩性适用性：当M<0.7、k时，忽略时间项引入的相位误差可控（图6c-d）。
   

四、结论与价值

科学价值：
- 首次基于间断伽辽金法直接推导UVLM的连续时间状态空间形式，避免离散时间法的CFL条件限制。
- 建立可压缩流与不可压缩流的统一求解框架，拓展了势流方法的应用范围。

工程意义：
- 为飞行器气动伺服弹性（Aeroservoelasticity）分析提供高效工具，支持非均匀尾流和任意翼型。
- 突风载荷分析中（图7），时间步长仅由精度需求决定，可自由调整以提高计算效率。

五、研究亮点

1. 方法创新：
   
   • 空间离散保留时间导数的连续时间建模（对比Stewart等离散时间转换法）。
     
   • 间断伽辽金法在涡量输运方程中的首次应用，支持高阶单元和非平面尾流。
     
2. 应用突破：
   
   • 实现马赫数至0.7的可压缩流模拟（传统UVLM仅限不可压缩流）。
     
   • 非均匀尾流离散（图9）结合变时间步长（图8），计算效率提升300%。
     

六、其他发现

• 局限性：高马赫数（M>0.7）或高减缩频率（k>1）时需考虑全势方程时间项（式1右端）。
  
• 扩展性：作者指出未来可引入涡粒子法（Vortex Particle Methods）进一步减少远场尾流计算量。
  

此项研究为柔性飞行器动态载荷分析提供了兼具精度与效率的解决方案，其方法论对计算气动力学领域具有普适性启示。