这是一篇发表于2016年6月《ieee transactions on electromagnetic compatibility》(卷58，第3期)的原创性研究论文。该研究由密苏里科技大学（Missouri University of Science and Technology）的Ketan Shringarpure、Siming Pan、Jun Fan、James L. Drewniak，以及当时在该校访学的韩国蔚山科学技术院（Ulsan National Institute of Science and Technology）学者Jingook Kim，和来自思科系统公司（Cisco System Inc.）的Brice Achkir、IBM的Bruce Archambeault共同完成。研究团队主要隶属于密苏里科技大学电磁兼容实验室，该实验室在高速数字系统电磁兼容、信号与电源完整性领域享有盛誉。
该研究聚焦于电磁兼容与信号完整性领域中的关键问题——印制电路板（Printed Circuit Board，PCB）电源分配网络（Power Distribution Network，PDN）的建模与分析。在现代高速数字系统设计中，PDN的设计至关重要，其核心目标是为集成电路（Integrated Circuit，IC）提供低噪声的供电，并将电压纹波限制在系统允许的范围内。一个典型的PCB PDN从电压调节模块（Voltage Regulator Module，VRM）延伸至IC引脚，包含了多层金属平面、复杂形状的电源与地填充区域、过孔以及大量的去耦电容器。当IC内部的大量晶体管同时开关时，会产生瞬态电流，引起PDN上的电压扰动，这不仅影响IC的正常工作，还可能通过耦合引发电磁干扰（Electromagnetic Interference，EMI）和信号完整性（Signal Integrity，SI）问题。工程上通常使用PDN的输入阻抗和转移阻抗来分析和评估其性能。然而，对于具有高层数、复杂几何特征的实际产品级PCB，传统的数值方法（如时域有限差分法、有限元法）和电路提取方法虽然精确，但往往面临仿真耗时、内存占用巨大或电路模型过于复杂、无法为设计提供直观指导等挑战。因此，本研究旨在提出一种实用的、能够大幅降低电路复杂度的物理基等效电路模型，用于准确分析多层生产级PCB的PDN低频行为，同时为设计者提供清晰的物理洞察。
为实现这一目标，研究团队开发了一套完整的方法论，其工作流程主要分为模型构建、模型化简与模型验证三个核心步骤。
第一步是物理基模型构建。该方法首先将复杂的多层PCB堆叠结构，沿着各金属平面层垂直分割成多个独立的“板对”腔体结构。每个腔体由一对平行的电源平面和地平面构成。针对每个矩形板对腔体，研究者基于腔体模型的解析公式，采用一种基于物理原理的电感提取技术，来计算腔体内所有过孔的自感以及过孔对之间的互感。同时，他们也计算了每个腔体由平行板形成的电容以及代表介质损耗的电导。每个腔体被表示为一个集总电路模型：腔体的电容和电导并联在代表两个金属平面的节点之间；每个过孔则由一个电感元件表示，且所有电感元件之间存在由互感矩阵描述的耦合关系。之后，如同搭建网络，各个腔体在过孔的节点处串联起来，形成一个完整的多层PDN模型。在这个初始模型中，每一个过孔在它穿过的每一个腔体中都有一个对应的电感，导致一个实际PCB的电路元件数量极其庞大。
第二步是关键的电路化简技术。这是本研究最具创新性和实用价值的贡献。研究者提出了一种在电路域进行化简的方法，其核心是将所有过孔电感根据其网络连接和电流物理路径进行分组。具体而言，所有连接电源网络的过孔电感被分为两组：从PCB顶层到电源层的电感组，以及从电源层到PCB底层的电感组。所有连接地网络的返回路径过孔电感则被分为三组：从顶层到电源层上方最近地层的电感组、介于电源层上下最近地平面之间的电感组，以及从电源层下方最近地层到底层的电感组。化简过程分两步进行：首先，将串联元件进行合并；然后，采用严格的矩阵运算方法合并并联元件。对地网络的三组并联返回过孔电感进行化简时，首先建立所有电感组电压-电流关系的矩阵方程，由于并联元件两端电压相等，通过求取电感矩阵的逆矩阵，并对相应行列进行加和操作，最终将成百上千的返回过孔电感化简为三个等效电感。同理，若观察端口包含多个IC电源过孔，这些并联的电源过孔电感也可被化简为单个等效电感。通过这种技术，整个电路的矩阵规模从（2×电源过孔数 + 3×地过孔数）的规模大幅缩减，最终得到一个结构极其简洁的集总元件电路模型，该模型可直接在SPICE类仿真器中运行。
第三步是模型实验验证。研究团队选取了一块28层、包含专用集成电路（Application Specific Integrated Circuit，ASIC）的产品级复杂PCB作为验证对象。该PCB上，研究关注的电源网络布在第16层，共有43个表面贴装去耦电容器（其中17个在ASIC下方，19个在顶层周围，7个在底层）和243个返回路径过孔。研究者分三步逐步增加电容器数量，构建了三个PDN配置模型：第一步只连接底部1个电容器，第二步连接顶部19个电容器，第三步连接全部43个电容器。所有配置均使用供应商提供的电容器SPICE模型。模型的输入阻抗仿真结果与使用微探针的实测结果在高达数GHz的频段内进行了对比。
对比结果显示，该模型准确捕捉了PDN阻抗响应的关键特征。在低频段，总去耦电容值被精确反映；在中频段，由IC到去耦电容电流路径决定的电感值被很好地建模，并且该电感值随着电容器数量的增加而降低，这一趋势与物理预期和实测结果高度一致；在高频段，由IC到电源腔体电流路径决定的电感值几乎不受电容器数量和位置影响，且保持恒定，模型也准确捕捉了这一特性。集总谐振频率点也被准确定位。然而，模型也展现出其已知的局限性：它无法捕捉由平面模态谐振引起的分布性谐振行为，且谐振处的阻抗幅值与实测存在偏差，这主要是由于模型仅考虑了介质损耗，未包含导体损耗以及去耦电容器精确的等效串联电阻（Equivalent Series Resistance，ESR）。
本研究的结论是，所提出的建模和电路化简方法，能够为产品级复杂多层PCB提供一个元件数量少、仿真速度快且能保留关键物理意义的PDN等效电路模型。其科学价值在于，它将解析的腔体模型与巧妙的电路网络化简方法相结合，在保证低频准确性的前提下，极大地降低了模型的复杂度，为理解PDN物理特性提供了新途径。其应用价值十分显著，该模型与SPICE求解器兼容，且模型元件与PCB的几何特征（如过孔、平面、电容器）之间存在清晰的映射关系。这使得PDN设计工程师能够直观地识别出影响PDN阻抗各个频段特性的具体物理结构，从而提供清晰的设计洞察，例如通过观察模型即可知道改变哪些几何参数可以调整特定频率的阻抗。该方法适用于广泛的电源完整性分析场景，包括复杂的电源/地堆叠、不同数量和任意位置放置的去耦电容器、大量IC电源引脚及返回路径过孔布局等，且由于其较小的模型规模和快速的仿真能力，非常适用于设计优化。
本研究的主要亮点体现在三个方面：第一，提出了一种全新的、不预设电流方向的返回过孔电路化简方法，克服了以往方法因必须预知电流方向而无法应用于存在大量无明确关联返回过孔的复杂产品级PCB的局限，极大提升了模型的实用性。第二，该方法实现了从物理几何到精简电路模型的优雅映射，在模型复杂度、仿真精度和物理直观性之间取得了出色的平衡，使得设计者能够获得通常在复杂全波仿真中丢失的直观理解。第三，通过一块高度复杂的28层产品级PCB的实测验证，强有力地证明了该方法的有效性和对实际工程设计的适用性，具有很高的工程应用价值。