三维陆地可控源电磁法有限元模型降阶快速正演研究学术报告

一、作者与发表信息
本研究的通讯作者为张继锋（长安大学地质工程与测绘学院），合作作者包括刘寄仁、冯兵（通讯作者）及郑一安。研究发表于《地球物理学报》（Chinese Journal of Geophysics）2020年第63卷第9期，标题为《三维陆地可控源电磁法有限元模型降阶快速正演》（Fast forward modeling of the 3D land controlled-source electromagnetic method based on model reduction）。DOI编号为10.6038/cjg2020N0452。

二、学术背景
可控源音频大地电磁法（CSAMT, Controlled-Source Audio-frequency Magnetotellurics）因人工场源增强信号抗干扰能力，广泛应用于矿产资源、地热勘探等领域。然而，三维正演计算中多频点大型稀疏方程组的求解效率成为瓶颈。传统有限元法（FEM, Finite Element Method）虽能灵活模拟复杂地电结构，但计算成本高昂。本研究旨在通过模型降阶（Model Reduction）技术，结合Krylov子空间投影算法，提升三维可控源电磁正演的计算效率，同时保证精度。

三、研究流程与方法
1. 控制方程与有限元离散化
- 基于准静态近似，推导电场双旋度方程（式3），并引入散度校正罚项（式5）以消除节点有限元的伪解问题。
- 采用六面体单元剖分计算域，形函数为三线性插值（式8-9），通过等参变换将子单元映射至母单元。
- 通过变分原理离散化方程，形成复系数线性方程组（式14），其中刚度矩阵（c）和质量矩阵（m）维度达3×节点数。

1. 模型降阶算法实现

   • 传递函数构建：将方程组转化为频率域传递函数（式18），利用Krylov子空间投影技术，将高维矩阵降阶为低维矩阵（式20）。
     
   • 单极点优化：选取最优实数极点ξ₀=-2π√(f_min f_max)，通过一次矩阵分解（使用Intel MKL库的PARDISO求解器）和多次回代完成正交基构建，显著减少多频点计算量。
     
   • 奇异性处理：采用伪δ函数（Pseudo-Delta Function）近似电偶极源，避免源点奇异性问题（式15）。
     

2. 数值验证与模型设计

   • 验证模型：
     
     • 二层介质模型：对比解析解、3DFEM（直接求解器）与模型降阶解，电场平均相对误差1.72%，卡尼亚视电阻率误差2.1%。
       
     • 三维低阻体模型：与陈辉等（2016）结果对比，视电阻率与相位曲线吻合良好。
       
   • 复杂模型测试：
     
     • 横向高阻-低阻模型：高频（4096 Hz）出现“假极值”，低频（256 Hz）反映真实电阻率分布，低阻体阴影效应更显著。
       
     • 垂向高阻-低阻模型：主测线清晰显示异常体响应，低阻体阴影范围扩大。
       
     • 陷落柱模型：视电阻率断面图在柱体上方呈现“凹陷”，验证算法对复杂结构的适用性。
       

四、主要结果与逻辑贡献
1. 效率提升：模型降阶法计算时间仅为3DFEM的1/10（二层模型：265秒 vs. 2802秒），内存占用显著降低。
2. 精度验证：与解析解相比，模型降阶法在高频段稳定性优于传统有限元（图3-4）。
3. 现象分析：
- 假极值：高频段视电阻率与真实电阻率反向（图8）。
- 阴影效应：低阻体异常范围扩大，灵敏度高于高阻体（图9）。
4. 逻辑链条：通过模型降阶简化计算→验证算法精度→分析典型地电模型响应→最终应用于复杂地质结构（陷落柱），逐步证明方法的可靠性与普适性。

五、结论与价值
1. 科学价值：提出基于Krylov子空间的模型降阶有限元算法，为多频点电磁正演提供高效解决方案。
2. 应用价值：适用于矿产勘探、采空区探测等实际场景，尤其对低阻体识别具有高灵敏度。
3. 方法论创新：
- 单极点优化策略平衡计算效率与精度。
- 伪δ函数与散度校正结合，提升复杂源和边界条件的处理能力。

六、研究亮点
1. 算法创新：首次将模型降阶技术应用于陆地CSAMT三维正演，突破多频点求解瓶颈。
2. 多模型验证：从简单层状介质到复杂陷落柱，系统验证算法适用性。
3. 现象解释：明确“假极值”、阴影效应等电磁响应特征，为反演解释提供理论支持。

七、其他价值
研究受国家重点研发计划（2017YFC0602202）资助，开发的算法可扩展至多源并行计算，为后续三维反演奠定基础。