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基于层级B样条的未拟合hp自适应有限元方法在复杂几何界面问题中的应用

第一作者及研究机构
本研究由德国慕尼黑工业大学（Technische Universität München）Lehrstuhl für Computation in Engineering的Dominik Schillinger和Ernst Rank合作完成，发表于2011年的《Comput. Methods Appl. Mech. Engrg.》期刊（卷200，页码3358–3380）。

学术背景
1. 研究领域与背景
该研究属于计算力学领域，聚焦于多相材料力学模拟中的界面问题。传统有限元方法（FEM）在处理复杂几何界面时面临两大挑战：
- 界面参数化（如表面三角化或水平集函数）的计算成本高，且难以自动化；
- 几何非线性问题中，高振荡应力场导致收敛速度下降。

1. 研究动机与目标
   作者提出了一种基于层级B样条（hierarchical B-splines）的未拟合hp自适应有限元方法（hp-adaptive FEM），旨在：
   
   • 避免显式界面参数化，简化网格生成；
     
   • 通过局部自适应细化提升间断问题的收敛速度；
     
   • 将有限元方法（FCM）推广至几何非线性问题。
     

研究流程与方法
1. 核心方法设计
- 层级B样条基函数：利用B样条的细分特性（subdivision property），在界面附近局部添加多层细化基函数，保持整体网格的规则性（regular grid）。
- hp自适应策略：同步增加B样条多项式阶数（p-refinement）和局部细化层数（h-refinement），实现指数级收敛。
- 未拟合积分：采用高斯点法（GPM）在间断单元内自适应聚集积分点，避免显式界面参数化。

1. 算法实现

   • 一维验证：以双材料杆（bi-material rod）为例，验证了3层细化B样条的最优性，并对比了h/p/hp策略的收敛率（如hp策略达到q=10.3的收敛阶）。
     
   • 几何非线性扩展：结合对数应变度量（logarithmic strain measure），解决了传统FCM在几何非线性问题中的振荡问题。
     
   • 多维推广：通过张量积（tensor product）将方法扩展至2D/3D，处理复杂边界条件（如变形依赖载荷）。
     

2. 几何模型支持

   • 隐式几何描述：通过解析不等式（如x²+y²≤r²）定义界面；
     
   • 体素模型（voxel model）：基于CT扫描数据快速生成自适应网格（如铝泡沫复合材料案例，在53秒内完成3层细化）。
     

主要结果
1. 一维界面问题
- 双材料杆模型中，4层局部细化即可将位移和应变的振荡限制在界面附近（图7-8）；
- hp策略的应变能误差收敛速率显著优于纯h或p策略（图8d）。

1. 几何非线性FCM

   • 传统p版FCM在非线性问题中仅获得q≈0.4的代数收敛，而层级B样条版本提升至q=1.12（图22）；
     
   • 应力场在物理域内无振荡，靠近几何边界时精度更高（图20-21）。
     

2. 多维应用案例

   • 含圆孔板：2D问题中，非拟合边界条件通过罚函数法（penalty method）实现，应力集中现象被准确捕捉（图17）；
     
   • 环形压力容器：通过多边形近似（polygon approximation）处理变形依赖载荷，验证了方法的通用性（图24）。
     

研究结论与价值
1. 科学价值
- 提出了一种无需显式参数化的自适应有限元框架，解决了复杂几何界面问题的网格生成难题；
- 在几何非线性问题中首次实现了高阶收敛，弥补了传统FCM的局限性。

1. 应用价值
   
   • 适用于多相材料（如复合材料、生物组织）和复杂几何（如CT扫描数据）的力学仿真；
     
   • 开源实现基于Trilinos框架，可直接集成于工业CAE软件。
     

研究亮点
1. 方法创新
- 结合层级B样条与hp自适应策略，首次在未拟合网格中实现指数收敛；
- 提出“3层局部细化”规则，平衡计算效率与精度。

1. 技术突破
   
   • 开发了基于体素的快速网格生成算法，支持千万级单元的高效处理；
     
   • 改进了FCM在非线性问题中的稳定性（如对数应变度量避免物理模型切换）。
     

其他贡献
- 开源代码集成LAPACK/PARDISO求解器，为后续研究提供工具支持；
- 通过多尺度案例（1D至3D）验证了方法的普适性。

此研究为计算力学领域提供了高效、通用的仿真工具，尤其在处理复杂几何和材料非线性问题时展现出显著优势。