本文报告了由Graham P. Benham、Olivier Devauchelle和Stuart J. Thomson合作完成的一项关于波驱动推进的原创性理论研究。Graham P. Benham来自爱尔兰都柏林大学学院数学与统计学院，Olivier Devauchelle来自法国巴黎地球物理研究所，Stuart J. Thomson来自英国布里斯托大学工程数学与技术学院。这项研究发表在流体力学领域的权威期刊《Journal of Fluid Mechanics》2024年第987卷上，文章ID为A44，已于2024年4月在线发表。
研究的学术背景是自然界和人工系统中广泛存在的波驱动推进现象。从精子鞭毛摆动、水黾在水面行走、鱼类侧向波动推进，到被困在水面的蜜蜂通过扑翼产生不对称波场从而获得向前的动力，都展示了流体环境中基于波动的独特推进策略。最近，受被困蜜蜂行为的启发，Rhee等人（2022）设计了一个厘米尺度的界面机器人“冲浪者机器人”（Surferbot），它通过一个小型偏心质量马达产生不对称振动，实现了约每秒1厘米的波驱动推进速度。在更大尺度上，Benham等人（2022）通过在人站在独木舟船舷上跳跃使其振荡，实现了约每秒1米的推进速度，这种技术被称为“船舷晃动”。这些现象背后的主流观点认为，推动力源于波动量（wave momentum）的不对称辐射，其推力可根据Longuet-Higgins等人的经典理论进行标度分析（scaling argument）。然而，现有的标度分析虽然能定性地捕捉推力与阻力之间的平衡关系，但无法预测标度律前的系数，也无法计算推进效率，更无法从全局动量守恒的角度验证模型的准确性。因此，该研究旨在建立一个能够定量描述、耦合浮体运动与流体动力学的理论模型，以预测波驱动推进的漂移速度、推力，并优化其效率，填补现有理论框架的空白。
研究的核心是建立一个关于浮动体在流体界面振荡从而产生推进的理论模型。详细工作流程主要包括以下几个部分：
首先，研究者建立了浮动筏板的运动方程。研究考虑了一个长度为L、漂浮在流体表面的二维筏板（作为浮体的理想化模型）。筏板受到施加在其上某一点（坐标为xa）的周期性外力Fa的作用，该力驱动筏板产生振荡。筏板质心的运动包括水平方向的恒定漂移速度u，以及微小的水平振荡ξ(t)和垂直振荡ζ(t)，同时筏板还会绕其质心产生一个微小的旋转θ(t)。筏板的运动方程基于牛顿第二定律建立，包括平动方程和转动方程。其中，流体对筏板的作用力通过积分筏板下表面所受的流体压力与大气压之差来计算，而阻力则采用一个经验性的阻力系数公式进行建模。研究假设驱动力是简谐的，筏板的振荡响应也是简谐的，并最终通过线性化处理，得到了一组描述筏板一阶振荡动力学的线性方程，这些方程将外部驱动力、筏板的振荡幅度与流体压力分布联系起来。
其次，研究者建立了耦合的流体动力学模型。为了描述筏板振荡所激发的波场，研究者采用了拟势流（quasipotential flow）理论。该模型假设流体是无旋的，但通过在线性化的边界条件中保留粘性项来考虑弱阻尼效应，从而能够复现实验中观察到的波的空间衰减。控制方程是拉普拉斯方程。边界条件包括：底部的不可穿透条件；自由表面（筏板之外区域）的运动学条件和包含表面张力效应的动力学伯努利条件；以及在筏板下表面（与流体接触部分）的运动学条件，该条件与筏板的垂荡和纵摇运动速度相匹配。为了进行数值模拟，研究者在水平方向将域截断为有限长度，并在左右边界施加了辐射边界条件以避免反射，其中波数k由包含重力、表面张力和粘性效应的色散关系确定。
第三，通过数值求解耦合系统并计算推进力。研究者将筏板的线性运动方程与拟势流边值问题进行耦合。给定外部驱动力的大小、相位和作用位置，通过求解耦合系统，可以得到筏板的振荡响应（ξ̂，ζ̂，θ̂）以及流体中的压力分布p̂和波面高度η̂。关键的一步是计算由振荡产生的平均推力。推力被定义为压力积分项在水平方向分量在一个振荡周期内的平均值。同时，平均阻力被近似为仅由漂移速度u引起的惯性阻力。通过建立推力与阻力之间的平衡方程（F̄t = F̄d），可以求解出未知的恒定漂移速度u。整个耦合问题在MATLAB中采用有限差分法求解偏微分方程系统，并利用牛顿法处理与筏板运动方程的耦合。研究者提供了相关的代码作为补充材料。
为了验证模型的正确性，研究者首先进行了数值验证与动量守恒检查。他们计算了在纯纵摇（pitching，ζ̂=0）和纯垂荡（heaving，θ̂=0）激励下流场的速度势。正如预期，这两种对称运动单独作用时产生的净推力为零。更重要的是，他们通过数值计算证明了模型预测的推力与通过积分欧拉方程得到的域内动量通量变化完全一致，即满足了全局动量守恒，这为模型的物理自洽性提供了强有力的支持。
随后，研究者将模型应用于具体的“冲浪者机器人”（Surferbot）案例，并与Rhee等人（2022）的实验数据进行详细对比以验证模型。他们采用了Surferbot的尺寸、质量等物理参数，并将偏心马达产生的力建模为简谐力。模型预测的漂移速度约为2 cm/s，与实验测量的~1.8 cm/s非常接近。这表明模型的预测能力相当可靠，细微的差异可能源于平板阻力系数公式的微小偏差。此外，研究还将模型预测的波场形态以及筏板首尾端的运动轨迹与实验数据进行了对比。结果显示，模型在定性上很好地复现了实验现象，并对漂移速度给出了优秀的定量预测。虽然在波幅和波衰减长度上存在一些差异，但这些差异很可能归因于理论模型与真实实验之间的简化假设差异，例如理论中简化的点力驱动 vs. 实验中的偏心马达驱动、二维模型 vs. 实际三维几何形状及波场、以及筏板本体柔性带来的附加阻尼等。
在模型得到验证的基础上，研究者利用该模型对波驱动推进的效率进行了优化研究。推进效率χ定义为有用推进功率（P̄t = F̄t * u）与总输入功率（P̄a，即驱动筏板振荡所消耗的功率）之比。对于Surferbot的初始配置，模型计算出的效率为1.8%。研究者随后在保持总输入功率恒定的前提下，系统地改变了两个关键参数：驱动频率ω/2π和驱动力施加的横向位置xa。优化结果表明，存在一个最优驱动频率（约16 Hz）和一个最优的电机安装位置（位于筏板质心后方约5 mm处），能够使推进效率最大化。最优频率可能与筏板-流体系统的共振频率（约14 Hz）有关，而最优位置则可能反映了垂荡和纵摇两种运动模式激励之间的权衡。
研究的结论是，通过将浮体运动方程与线性拟势流模型相耦合，成功地建立了一个能够描述波驱动推进现象的理论框架。该模型不仅能够预测漂移速度和推力，满足全局动量守恒，而且在与Surferbot实验数据的对比中表现出良好的一致性。模型揭示了推进效率对驱动频率和力作用位置的依赖性，并找到了最优参数，为未来实验验证和实际应用提供了理论指导。此外，通过标度分析，研究者得出了一个简单的效率估算公式χ ∼ Ma/(2+Ma)（其中Ma = u/cg为马赫数），该公式在低马赫数情况下与模型计算结果吻合良好，并从物理上解释了效率随漂移速度增加而提高的趋势（因为更高的漂移速度会抑制向前传播的波，从而减少能量的浪费）。
本研究的科学价值和应用价值显著。在科学上，它提供了一个严谨的、可定量计算的数学物理模型，深化了对波-结构相互作用产生净推进力这一基本物理过程的理解，将此前基于标度律的定性认识提升到了定量预测的水平。在应用上，该模型为优化小型水面机器人（如Surferbot）的推进性能提供了直接的理论工具，参数优化结果可直接指导设计。模型还可延伸应用于分析昆虫水面运动机理，以及评估赛艇、皮划艇等项目中运动员划桨引起的船体振荡对性能的潜在影响（即是否可能通过特定的振荡模式获得额外的推进优势）。研究还探讨了多个物体通过波场相互作用的可能性，例如小鸭跟随母鸭游泳时的“乘波”效应，或赛艇比赛中船艇间的波浪干扰。
本研究的亮点在于：第一，理论模型的创新性，首次将浮体刚体动力学与线性的、考虑弱粘性阻尼的拟势流模型进行耦合，为波驱动推进问题提供了一个完整且自洽的理论描述。第二，模型的验证充分，不仅通过了严格的动量守恒检验，还与真实实验数据进行了定量比较，证明了其预测能力。第三，超越了现象描述，进行了参数优化研究，指出了提升效率的具体途径（优化频率和作用点），展示了理论模型指导实践的潜力。第四，研究具有跨尺度的启发性，从厘米级的机器人到米级的人类船只，其底层物理原理具有统一性，模型框架具有扩展应用到不同尺度和场景的潜力。
最后，研究者在讨论部分展望了模型的多个潜在扩展方向。例如，将有限漂移速度效应纳入流体模型，以研究多普勒频移对波场和推进效率的影响；研究从静止状态启动推进的瞬态过程；考虑更复杂的筏板形状优化或多振荡器控制策略；以及探讨在何种情况下流体涡旋的影响会变得显著，从而需要引入旋流模型。这些扩展将进一步增强模型的实际应用范围和预测精度，连接基础流体力学与仿生机器人、水上运动科学等交叉领域。