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Di Luo等学者在《Physical Review Letters》发表量子晶格规范理论的规范等变神经网络研究

2021年12月30日，由Di Luo（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）、Giuseppe Carleo（瑞士洛桑联邦理工学院）、Bryan K. Clark（伊利诺伊大学）和James Stokes（Flatiron研究所）共同完成的研究论文《Gauge Equivariant Neural Networks for Quantum Lattice Gauge Theories》在《Physical Review Letters》正式发表。该研究提出了一种新型神经网络架构——规范等变神经网络（Gauge Equivariant Neural Networks），用于精确模拟具有局部规范不变性的量子多体系统，并成功应用于Z₂晶格规范理论的基态波函数求解与相变分析。

学术背景

规范对称性在物理学中具有核心地位，从基本粒子量子场论到量子材料中的涌现自由度均涉及该理论。然而，传统模拟方法（如格点规范理论或密度矩阵重整化群DMRG）受限于计算复杂度或维度限制，难以高效处理高维系统的规范约束。本研究旨在通过机器学习方法，构建严格满足规范对称性的神经网络波函数，突破现有模拟技术的瓶颈。

研究聚焦于Z₂规范群（Z₂ gauge group）的量子晶格规范理论，其哈密顿量定义为：
[ H = -J \sum_f B_f - h \sum_e X_e ]
其中( Bf = \prod{e \in f} Z_e )为 plaquette算符，( X_e, Z_e )为泡利矩阵。物理希尔伯特空间由顶点算符( Av = \prod{e \ni v} X_e )的+1本征态构成，需严格满足规范约束条件( A_v \psi = \psi )。传统方法难以在此约束下高效求解基态，而本研究通过神经网络架构的显式对称性设计解决了这一问题。

研究流程与方法

1. 规范等变神经网络架构设计

研究团队提出了一种分层网络结构，包含以下核心模块：
- 规范等变层（Gauge Equivariant Layer）：通过Wilson路径（Wilson path）( W\gamma(\phi) = \prod{e \in \gamma} \phie )构造，确保输入张量在规范变换( g\omega )下满足( f(g\omega \cdot \phi) = g\omega \cdot f(\phi) )。每一层的设计包括：
- 路径选择：为每条边( e = (v, v+\mu) )指定开放路径( \gamma_e )和闭合路径（如基本plaquette □）。
- 可学习函数：采用卷积神经网络（CNN）作为非线性映射( h_e: \mathbb{C}^{n_e} \to \mathbb{C} )，其输入为闭合路径的Wilson loop值。
- 规范不变层（Gauge Invariant Layer）：最终输出层通过闭合曲线Wilson loop实现严格规范不变性。

2. 变分蒙特卡洛优化

采用变分量子蒙特卡洛（Variational Quantum Monte Carlo, VMC）方法优化网络参数：
- 系统规模：在周期边界条件的方形晶格上测试，尺寸从3×3至12×12。
- 损失函数：基于能量期望值的随机重构算法（Stochastic Reconfiguration）优化。
- 关键创新：通过残差连接（Residual Layers）保持规范等变性，并利用周期性填充CNN处理平移对称性。

3. 数值实验与验证

• 基准测试：在3×3晶格上对比规范等变网络、规范不变网络（无等变层）和受限玻尔兹曼机（RBM）。结果显示，规范等变网络仅用66个参数即达到接近精确对角化的精度（图2）。
  
• 相变分析：通过Wilson loop算符( \hat{W}C = \prod{e \in C} Z_e )的期望值，验证了：
  
  • 禁闭相（h > h_c）：( \langle \hat{W}_C \rangle )随闭合曲线C的面积指数衰减（面积律）。
    
  • 去禁闭相（h < h_c）：( \langle \hat{W}_C \rangle )随周长衰减（周长律），临界场强( h_c \approx 0.3 )（图4-5）。
    

主要结果与结论

1. 理论贡献：首次实现严格满足Z₂规范约束的神经网络波函数，其架构可推广至Zd规范群和非阿贝尔Kitaev模型。
   
2. 数值验证：在12×12晶格上重现了Wilson loop的面积律与周长律行为，拟合参数与理论预测一致（图4）。
   
3. 相变机制：通过Hellmann-Feynman定理计算能量导数，确认了禁闭-去禁闭相变的存在性（图5）。
   

科学价值与亮点

• 方法创新：规范等变层的设计为高维规范场论的数值模拟提供了新范式，解决了传统方法因符号问题（sign problem）导致的效率瓶颈。
  
• 应用潜力：该框架可扩展至3D环面码（toric code）、X-cube分形子模型等拓扑序研究，并为量子态层析（quantum-state tomography）提供新工具。
  
• 跨学科意义：将群等变神经网络（Group Equivariant Networks）应用于物理约束系统，推动了机器学习与理论物理的深度融合。
  

其他重要内容

• 补充材料：论文的补充材料详细给出了Z₂基态解析构造、3D环面码推广及网络优化细节。
  
• 计算支持：数值实验基于开源框架NetKet实现，强调了可重复性设计。
  

此项研究为强关联量子系统的模拟开辟了新途径，并被作者团队视为“扩展变分方法边界的重要一步”。