本研究由西南交通大学力学与航空航天工程学院、四川省应用力学与结构安全重点实验室的王瑞、李汨剑和王恋舟（通讯作者）共同完成，于2025年1月2日在线发表在期刊《Physics of Fluids》上（第37卷，文献号015102）。该研究聚焦于流体力学领域中流场数据处理的关键问题，提出了一种创新的流场重建方法。
在流体力学研究中，通过数值模拟获得的流场数据经过超分辨率重建或流场预测等数据处理步骤后，常常会出现数据失真现象。高分辨率流场数据能够更准确地反映流场的流动细节，然而受限于实验和数值模拟的高成本与长耗时，获取高分辨率数据面临巨大挑战。近年来，深度学习技术的快速发展为流场研究带来了新的机遇，各类神经网络结构被广泛应用于流场的超分辨率重建、预测重建以及模态分析等领域。
传统的超分辨率重建方法，如双三次插值（bicubic interpolation），在处理流场数据时存在明显局限，其重建误差通常随分辨率的增加而增大。此外，现有的基于卷积神经网络（Convolutional Neural Network, CNN）的超分辨率重建方法虽然取得了一定进展，但大多严重依赖训练数据的质量和数量。在模态分解领域，将神经网络与传统的动态模态分解（Dynamic Mode Decomposition, DMD）相结合的方法展现了在高维特征提取和动态预测方面的优势，但如何在小数量保留模态的情况下仍保持较高的预测精度，仍是一个亟待解决的问题。
基于上述背景，本研究旨在：第一，结合物理信息神经网络（Physics-Informed Neural Network, PINN）和CNN的各自优势，构建物理信息卷积神经网络（Physics-Informed Convolutional Neural Network, PICNN）模型，用于单张流场快照的超分辨率重建；第二，将PICNN模型与稀疏促进动态模态分解（Sparsity Promoting Dynamic Mode Decomposition, SPDMD）算法相结合，构建流场预测与优化平台，以解决在小数量保留模态情况下流场预测质量损失较大的问题。
本研究包括两个案例，分别对应流场的超分辨率重建和流场预测优化。
PICNN模型是PINN与CNN的有机结合体。PINN通过构建全连接神经网络来逼近偏微分方程的解，其输入为物理坐标及其与时间的关系，每一层的输入源自前一层的输出，计算结果代入偏微分方程、边界条件和初始条件以获得误差，并通过反向传播更新权重和偏置参数。CNN则以其权重共享和参数数量少的优势，在图像处理领域表现出色，其非线性激活函数使网络能够逼近任意复杂度的函数。
PICNN模型充分利用了CNN的图像处理优势，同时从本质上融入了流体偏微分方程所描述的物理特性。这一设计使得模型无需大量训练数据即可重建单张流场快照，有效解决了传统方法对训练数据规模和质量的高度依赖问题。
案例一的研究对象为二维方腔驱动流。方腔物理域边长设置为0.1米，左、右、下边界固定，内部流体由顶部盖子以速度u驱动。采用结构化网格对方腔进行均匀离散化，网格分辨率分别设为10×10、40×40、60×60、80×80和160×160，每组的粗网格和细网格两两配对，形成了四组超分辨率重建条件，分别对应16倍、36倍、64倍和256倍的分辨率提升。雷诺数设为10，时间间隔为5×10⁻⁵秒。
在超分辨率重建过程中，首先以低分辨率流场数据（包含流向速度和展向速度）作为输入，在训练初始阶段通过双三次上采样将低分辨率数据扩展到高分辨率数据所在的空间。模型设置了五个卷积通道，分别模拟偏微分方程中的五个参数（流向速度u、展向速度v、压力p、∂u/∂t和∂v/∂t）。每次训练中，5%的双三次上采样数据作为训练锚点参与训练，边界条件则直接赋值给训练数据。损失函数由连续性方程和动量方程的均方误差（Mean Squared Error, MSE）组成，通过反向传播更新网络参数。
误差分析采用归一化均方误差（Normalized Mean Squared Error, NMSE）来衡量PICNN模型、双三次方法与CFD计算的高分辨率数据之间的差异。PICNN模型在Windows 11系统下的PyTorch框架上运行，使用NVIDIA GeForce RTX 3060 GPU和i5-12400F CPU。计算时间随超分辨率放大倍数的增加而显著增加，例如从40×40所需的754秒增长到160×160所需的1934秒。
案例二的研究对象为壁面安装的方形圆柱体绕流。整个物理域范围从x/d∈[-12, 41]到y/d∈[0, 20]。方柱位于y/d∈[0, 1]范围内，流体无法通过。尾流区域（y/d∈[0, 10]的80×80域）被选为SPDMD算法的分析域。边界条件设置方面，底部和圆柱表面为无滑移条件，顶部为滑移条件，入口为速度入口，出口为压力出口。雷诺数设为10⁶，时间间隔为5×10⁻⁴秒。
为实现湍流入口，在速度入口处叠加随机脉动速度。SPDMD算法选取1500张连续流场快照进行模态分析，快照间的时间间隔为2×10⁻³秒，总时长为3秒。该算法通过在未知振幅向量上添加ℓ₁范数惩罚项来确定DMD模态中的稀疏结构，使用交替方向乘子法求解优化问题。
PICNN优化过程与案例一类似，但无需上采样过程，锚点由5%的模态预测数据构成。该平台的工作流程为：OpenFOAM计算的时间序列快照作为输入，经SPDMD算法进行稀疏模态分解并选择少量主要模态，然后将预测重建的快照输入PICNN模型进行优化重建，最终获得更精确的流场预测结果。
在流向速度轮廓方面，传统双三次方法的NMSE维持在0.2至0.3之间，与CFD高分辨率流场存在较大差异；而经PICNN模型优化后，NMSE显著降低至约0.05。值得关注的是，随着重建倍数的增加，PICNN模型的NMSE并未增大，反而呈现总体下降趋势，展现出优异的稳定性。在展向速度方面，双三次方法的NMSE同样介于0.2至0.3之间，而PICNN模型将其显著降低至0.04至0.08之间。速度幅值的NMSE显示，双三次方法保持在0.15左右且随重建倍数增加而增大，而PICNN模型稳定在0.03左右。
对特定区域（y/l=0和x/l=0）的详细分析表明，在方腔中间位置，PICNN模型的重建效果显著优于双三次方法，其结果更接近CFD计算结果且不随重建倍数的变化而改变。在速度变化趋势发生转折的区域，PICNN模型的优势尤为明显。
相对误差轮廓分析揭示，双三次方法在方腔上部区域存在较大的“误差带”，其位置恰好对应流向速度变化最剧烈的区域。PICNN模型能有效消除这种误差带，但在极高重建倍数下，方腔的两个上角和下部局部区域会出现较大误差。在速度变化剧烈的区域，PICNN模型的超分辨率重建性能仍显不足，表明该方法在这些区域仍需进一步改进。
训练过程分析显示，在不同重建倍数下，NMSE在训练的前100轮中显著下降，随后各速度分量均进入收敛区间，表明训练已达到稳定状态。
SPDMD算法从1500个模态中选取了关键模态。模态特征值对称分布在单位圆附近，单位圆内的特征值表示模态具有显著的阻尼效应。模态频谱在零频率附近呈现对称模式，低频对应较高幅值，而高频幅值递减。SPDMD保留的模态中，零频率的主模态代表时均流场，其余频率代表成对出现的湍流脉动。
稀疏参数c与保留模态数Nz之间呈非线性关系：c的初始变化对模态数影响不大，直至达到某一阈值时模态数急剧下降，之后再度缓慢变化。在流向速度方面，流场质量损失低于8%，表明SPDMD算法充分捕获了该方向的流场特征；但在展向速度方面，质量损失超过60%。
以100dt、200dt、300dt和400dt为预测时间步，SPDMD模态预测重建的误差低于0.1。经PICNN模型优化后，流向速度的误差显著降至0.01以下。即使展向速度因仅保留两个模态导致预测误差较大（质量损失超过60%），PICNN模型仍能将误差显著降至0.1以下。优化效果随时间步增长而误差逐渐增大，表明误差与预测时间步呈正相关。速度幅值结果更接近流向速度结果，这是因为尾流中流向速度占主导地位。
相对误差轮廓显示，模态预测重建在速度较小区域存在较大误差，而PICNN模型能显著缩小误差区域，且不同时间步下的优化结果呈现出相似性。训练过程在不同时间步下展现出高度相似性，各流向速度的NMSE在训练初期快速下降，随后逐渐稳定并收敛至某一数值。
本研究得出以下主要结论：第一，PICNN模型在流场超分辨率重建方面表现出显著的性能优势，能够将方腔流速度场的分辨率分别提升16倍、36倍、64倍乃至256倍，且误差范围显著优于传统插值方法；第二，与双三次方法重建误差随分辨率提升而增大的趋势不同，PICNN模型的重建误差随分辨率倍数增加而减小，展现出极强的稳定性；第三，PICNN模型与SPDMD算法结合，能显著优化SPDMD算法的流场预测结果，即使在保留模态数较少、质量损失较大的情况下，仍能将预测误差维持在极低水平。
本研究的科学价值在于：提出了将物理信息融入卷积神经网络的新范式，为解决小样本条件下的流场超分辨率重建问题提供了有效方案；构建了模态分解与深度学习协同的流场预测与优化框架，为复杂流场的降阶建模和预测开辟了新途径。
应用价值方面，该方法可广泛应用于计算流体力学数据后处理、实验流场数据增强、流场细节的可视化分析以及工程流场的快速预测等领域，有助于在降低计算成本的同时提高流场数据的精度和分辨率。
本研究的亮点包括：第一，创新性地融合了PINN的物理约束能力与CNN的图像处理能力，构建了无需大量训练数据的PICNN模型；第二，建立了OpenFOAM-SPDMD-PICNN一体化平台，实现了从数值模拟、模态分解到深度学习优化的完整工作流；第三，在小样本和少模态条件下仍能实现高精度的流场重建与预测。
研究同时指出，当前PICNN模型仅考虑了二维不可压缩Navier-Stokes方程，尚未纳入三维流场、大涡模拟（Large Eddy Simulation, LES）或边界层效应等因素，模型结构仍有显著改进空间。未来工作可聚焦于将这些因素整合到模型中，以进一步提升其性能和适用范围。