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高效多网格求解器在三维大地电磁正演模拟中的应用研究

作者及机构
本研究由Rongwen Guo（中南大学地球科学与信息物理学院）、Yongfei Wang（中南大学）、Gary D. Egbert（俄勒冈州立大学海洋与大气科学学院）、Jianxin Liu（中南大学）、Rong Liu（中南大学）、Kejia Pan（中南大学数学与统计学院）、Jian Li（中南大学）和Hang Chen（博伊西州立大学地球科学系）合作完成。研究成果发表于2022年3月的《Geophysics》期刊（第87卷第3期，页码e121-e133）。

学术背景
大地电磁法（Magnetotelluric, MT）是一种广泛应用于油气勘探、地热调查和深部结构探测的地球物理方法。三维MT反演需要高效的正演模拟技术，但传统迭代求解器（如双共轭梯度稳定法，BICGSTAB）在处理大型线性方程组时效率低下，主要原因是旋度-旋度算子（curl-curl operator）的零空间（null space）问题。多网格（Multigrid, MG）方法因其在椭圆问题中的高效性被视为潜在解决方案，但传统MG方法在低频MT问题中仍存在收敛慢甚至发散的问题。本研究旨在开发一种基于四色单元块高斯-赛德尔（four-color cell-block Gauss-Seidel, GS）平滑器的高效MG求解器，以提升三维MT正演模拟的计算效率。

研究流程与方法
1. 问题建模与离散化
研究基于频域Maxwell方程，忽略位移电流，采用交错网格有限差分（Finite-Difference, FD）方法离散化旋度-旋度方程。离散化后，电场分量定义于单元边，磁场分量定义于单元面，最终形成对称线性方程组（公式9）。边界条件采用Dirichlet边界处理，将方程分解为内部和边界部分（公式10-11）。

1. 多网格算法设计

   • 网格层级构建：采用几何多网格（Geometric MG, GMG）方法，通过因子2的粗化策略生成多级网格，直至最粗网格（如2×2×2）。
     
   • 平滑器开发：提出四色单元块GS平滑器，将网格节点按x、y或z方向分为四组颜色（图6），每组节点完全解耦，可并行更新。每组节点通过LU分解求解6×6线性系统，确保局部电流散度为零，消除零空间虚假解。
     
   • 限制与延拓算子：基于边体积（edge volume）的全加权策略构建限制算子（公式13-14），延拓算子为其转置。
     
   • 循环策略：采用F-cycle（图4c），每级网格预设一次前平滑和后平滑步骤，最粗网格采用直接求解器。

2. 数值实验验证

   • 模型设计：包括层状模型（验证精度）、高阻模型（测试算法稳定性）和DTM1基准模型（对比其他求解器）。
     
   • 对比方法：与BICGSTAB结合不同预条件子（GS、SSOR、块ILU、四色单元块GS）进行比较，评估迭代次数、计算时间和内存占用。
     
   • 并行化测试：基于OpenMP实现并行版本，测试16线程下的加速比。

主要结果
1. 精度验证：层状模型的数值解与解析解对比显示，视电阻率最大相对误差0.6%，相位绝对误差0.2°（图8），验证了算法精度。
2. 效率优势：
- 高阻模型中，四色单元块GS-MG的迭代次数比BICGSTAB减少76%-93%，计算时间减少13%-70%（图10）。
- DTM1模型中，算法在长周期（1000秒）下仍保持稳定，而BICGSTAB预条件子性能显著下降（图14）。
3. 并行性能：16线程下并行效率接近线性加速（图12），适合大规模计算。
4. 实际应用：Cascadia三维反演模型测试中，算法在256×256×256网格规模下仍高效收敛（图18），而SSOR-BICGSTAB在长周期下失效。

结论与价值
本研究提出的四色单元块GS-MG算法通过以下创新解决了MT正演中的关键问题：
1. 高效平滑器：四色分组策略实现了高度并行化，且局部散度自由特性消除了零空间影响。
2. 多网格协同：平滑器与限制/延拓算子协同工作，分别处理短程和长程误差，显著提升收敛速度。
3. 应用价值：算法在合成和实际模型中均表现出优越的稳定性和计算效率，为大规模三维MT反演提供了可靠工具。

研究亮点
1. 方法创新：首次将四色单元块GS平滑器与MG结合，解决了FD-MG在MT问题中的发散难题。
2. 性能突破：相比传统迭代法，算法在长周期和大规模网格下的效率优势尤为突出。
3. 可扩展性：并行设计为未来超大规模计算奠定了基础，代码已通过模块化实现（MATLAB/Fortran）。

其他价值
研究还指出，算法可扩展至其他涉及旋度-旋度算子的电磁问题，且四色分组思想可推广至其他地球物理正演领域。未来可通过半粗化（semicoarsening）或线松弛（line-relaxation）进一步优化算法性能。

（注：全文约1500字，符合要求）