Qi Yue（南开大学中国公司治理研究院、商学院财务管理系）和 Li Xiaolin（天津财经大学）于2020年在期刊*SAGE Open*上发表了题为《On Imposing ESG Constraints of Portfolio Selection for Sustainable Investment and Comparing the Efficient Frontiers in the Weight Space》的研究。
该研究属于金融学与投资组合理论领域，旨在解决可持续投资（sustainable investment）领域中一个尚未被探索的基础性问题：在投资组合选择中明确施加环境、社会和治理（ESG）约束后，其投资组合权重（portfolio weights）与传统投资组合权重是否存在根本性差异。可持续投资通常通过ESG筛选策略来实施，即构建一个“好股票”的列表来形成投资组合。然而，该研究指出，现有策略忽略了诺贝尔奖得主Markowitz所强调的“投资组合完整性”（portfolio completeness），即一个好的投资组合不仅仅是好股票的罗列，而是一个平衡的整体。此外，现有文献多局限于在风险-收益空间比较可持续基金与传统基金的回报，研究方法较为简化。
因此，该研究的主要目标是扩展现有模型，通过比较可持续投资组合选择与传统投资组合选择的投资组合权重，来揭示两者在构建基石上的根本性异同。为达成此目标，作者进行了以下一系列研究工作。
首先，作者构建了一个研究模型。他们以Merton提出的经典投资组合选择模型为基础，显式地将ESG作为约束条件（constraints）引入。具体而言，他们建立了一个通用模型，该模型在最小化投资组合方差（variance）的同时，不仅要求达到目标预期回报，还要求投资组合的预期环境（E）、社会（S）和治理（G）得分达到预设水平，并满足其他线性约束。为了便于分析，作者将模型重写为矩阵格式，并继承了Merton研究中的关键假设，即协方差矩阵（covariance matrix）为正定矩阵，且回报向量和约束矩阵的行向量线性无关，以保证模型有解。
其次，作者对模型进行了分析性求解。他们采用ε-约束法（ε-constraint method），将目标预期回报作为参数，推导出了该可持续投资模型的最小方差前沿（minimum-variance frontier）。通过拉格朗日乘数法（Lagrange-multiplier method）和一系列矩阵运算，作者不仅求得了最优解，还证明了这个最小方差前沿在风险-收益空间（(z1, z2) space）中是一条抛物线（parabola），其有效前沿（efficient frontier）即为抛物线的上半部分。这一结果在理论上保证了可持续投资的有效边界与传统模型具有相似的几何结构。
研究的核心步骤是比较两个模型在权重空间（weight space）中的有效前沿。作者运用加权和法（weighted-sums method），进一步求得了模型有效前沿上所有投资组合权重的解析解集合。他们从数学上证明，这个集合不仅适用于传统模型，也适用于他们新构建的ESG约束模型，且在n维权重空间中均呈现为一条射线（ray）或半直线（half line）。具体而言，这条射线由一个特定的生成向量（记为j）和一个特定的最小方差投资组合（记为x_mv）所定义。通过这一发现的“射线结构”，作者得以系统性地比较两种投资策略的权重向量。
作者通过一个定理证明了新旧模型的有效前沿权重集合之间存在三种穷举且互斥的关系：完全重叠、仅有一个交点、或无交点。他们建立了线性方程组来判断交点是否存在，并提出了一个变化比率δ（0≤δ≤1）来量化两个最小方差投资组合x_mv之间的差异程度，δ值越大，表示差异越大。
为实证其理论发现，作者进行了示例分析。他们选取了道琼斯工业平均指数（Dow Jones Industrial Average Index）中具备完整数据的27只成分股作为研究样本，时间跨度为2004年至2013年。收益率数据来源于“CRSP”数据库，ESG数据来源于“MSCI ESG KLD Stats”数据库，并根据KLD的分类法，分别计算了每只股票的环境、社会和治理得分。研究将样本的统计量作为总体参数，并设定预期E、S、G的目标值为各自样本分布的第75百分位数。
作者利用推导出的公式计算了该ESG约束模型的最小方差前沿，并求解了其权重空间中的射线结构，即生成向量 j(9)和最小方差投资组合 x(9)_mv。作为对比，他们也计算了无ESG约束的传统模型的相应结果 j(2)和 x(2)_mv。
研究的主要结果显示：在风险-收益空间中，施加了强ESG约束后得到的有效前沿（黑色曲线）与传统的有效前沿（灰色曲线）非常相似。然而，在权重空间中，情况则完全不同。计算出的变化比率δ为0.287，表明两个最小方差投资组合存在显著差异。通过求解交点条件，发现秩条件不满足（rank([j(2) j(9)]) = 2 ≠ rank(J) = 3），根据定理4，证明了两个模型的有效前沿权重集合不存在任何交集。这意味着，尽管两者能提供相似的风险-收益表现，但构成前沿的任何一个投资组合的权重向量都完全不同。作者还将E、S、G目标值更改为第50和第90百分位数进行稳健性检验，得到了相似的结果。
研究的结论具有重要的理论和实践价值。其科学贡献在于首次在权重空间层面揭示了可持续投资与传统投资组合选择的根本性差异，填补了该领域的理论空白。这项工作表明，即使最终的风险-收益特征相似，其内部的资产配置结构也可能截然不同。文章的亮点在于其创新的分析方法论，即从权重空间的“射线结构”这一全新视角进行比较，而非仅仅采用传统的风险-收益空间比较。该研究采用基于建模的探索性方法，所有结论均有严格的解析解和数学证明作为支撑。
在实践应用上，该研究对可持续投资者而言既是“认可”（endorsement）也是“提醒”（reminder）。“认可”在于，投资者在施加严格的ESG要求后，依然可以获得与传统投资相似的风险-收益表现，这为可持续投资的有效性提供了支持；“提醒”则在于，投资者必须意识到，尽管表面绩效差不多，但其投资组合的内部构成（即各股票的具体权重）可能已发生天翻地覆的变化，这要求他们重新审视自己的持仓结构和风险管理。作者的研究为可持续投资从一种实践经验迈向一个基于投资组合选择理论的、定量化的稳健工具，做出了重要贡献。