吉林大学学报（地球科学版）2024年7月第54卷第4期刊载了由嵇艳鞠、邓昌伟、王宇航、刘航、吴琼（吉林大学仪器科学与电气工程学院）团队完成的原创性研究论文《基于时域有限差分法的电性源感应-极化效应三维数值模拟》（Three-dimensional numerical simulation of induction-polarization effect of electrical sources based on finite-difference time-domain method）。该研究针对矿产资源探测中的关键技术问题，提出了一种创新的数值模拟方法，为时域电磁探测提供了重要的理论支撑和技术工具。

学术背景

我国作为矿产资源消费大国面临资源供需矛盾，亟需发展高效探测技术。时域电性源电磁法（time-domain electrical source electromagnetic detection method）通过分析地下介质对脉冲场的电磁响应来获取电性信息，但在金属矿等极化介质中，感应-极化效应（induced-polarization effect）会导致电磁响应异常衰减和符号反转现象，传统方法难以准确表征。Cole-Cole模型作为描述介质极化特性的经典模型，其分数阶特性导致时域计算困难。本研究旨在建立基于时域有限差分法（finite-difference time-domain, FDTD）的三维数值模拟框架，解决极化介质电磁响应的精确计算问题。

研究方法与技术路线

研究分为四个关键步骤：

1. Cole-Cole模型有理化处理
   采用整数阶有理逼近算法对分数阶Cole-Cole模型进行时域转换。通过设置拟合阶次（n=7~10），将电导率频域表达式（式1）转化为时域卷积形式（式2）。测试表明，当n=9时，幅值误差%，相位误差°，在计算效率与精度间取得平衡。

2. 三维电磁场迭代系统构建

   • 网格剖分：采用Yee氏网格对仿真区域进行空间离散，电场分量（Ex, Ey, Ez）分布于棱边中心，磁场分量（Hx, Hy, Hz）位于面中心，时间步长按式16动态调整（早期步长0.1ms，后期逐步增大）。
     
   • 控制方程：将有理化Cole-Cole模型代入麦克斯韦方程组，推导出包含卷积项的时域迭代公式（式24、31）。其中电场迭代需计算历史场值的加权和（式25），通过参数θ（式26）和ψ（式27）耦合极化效应。
     

3. 初始场计算与验证
   建立均匀半空间模型（201×201×75网格，σ=0.05 S/m），对比解析解（式32）验证算法正确性。结果显示相对误差<10%（图5），最大偏差出现在早期瞬变阶段（t<1ms），证实算法可靠性。

4. 极化模型仿真实验

   • 极化半空间模型：设置η=0.3, τ=0.05s, c=0.5，观测到4.5ms时响应符号反转（图6），负峰值达-0.10μV，符合极化理论预期。
     
   • 三维极化体模型：800m立方体（η=0.8, σ=0.05 S/m）埋深450m，接收点偏移分析（y=200~600m）显示：当接收点位于极化体正上方（y=200m）时，反号最早出现；偏移至450m后响应延迟；600m处无负响应（图7）。切片图（图8）直观呈现了极化体空间位置与响应符号反转的对应关系。
     

关键结果与发现

1. 算法验证：均匀半空间模型的数值解与解析解高度吻合（图4），相对误差曲线（图5）证明FDTD框架的稳定性。
   
2. 极化效应表征：极化介质模型中均出现晚期负响应现象，其中三维极化体模型的响应幅值与空间分布特征（图7-8）为实际探测提供了以下规律：
   
   • 接收点距极化体越近，反号现象出现越早
     
   • 负响应幅度与极化率η正相关
     
   • 频散系数c影响衰减速率
     

科学价值与应用意义

本研究首次实现了基于FDTD的Cole-Cole模型全三维时域电磁模拟，其创新性体现在：
1. 方法学突破：通过有理逼近算法解决分数阶模型时域计算难题，相比传统Debye模型（c=1时Cole-Cole退化为Debye）更能刻画实际介质的频散特性。
2. 工程指导价值：
- 为野外数据反演提供正演工具，尤其适用于硫化矿等极化体探测
- 接收点布局优化建议：在疑似极化区采用多偏移距观测以捕捉反号特征
3. 算法扩展性：提出的有理化流程可推广至其他分数阶电磁模型（如Dias模型）的时域模拟。

研究亮点

1. 多尺度验证体系：从均匀半空间（验证基础算法）到复杂三维模型（模拟实际场景）的递进式验证。
   
2. 计算效率优化：动态时间步长（式16）和9阶有理逼近在保证精度的前提下减少40%计算量。
   
3. 现象机理解释：通过电磁切片图（图8）首次可视化极化体空间位置与响应符号的动态关联。
   

该研究的局限性在于尚未考虑地形起伏对电磁场分布的影响，未来可结合非结构化网格进一步扩展算法适用范围。研究成果为深部矿产资源探测提供了新的数值实验平台，相关代码已集成至吉林大学自主研发的TDEM-Lab仿真系统中。