Dorri Halbertal、Sara Shabani、Abhay N. Pasupathy 与 D. N. Basov 在 ACS Nano 2022 年第 16 卷第 1471−1476 页发表了题为“Extracting the Strain Matrix and Twist Angle from the Moiré Superlattice in van der Waals Heterostructures”的研究论文。作者均来自 Columbia University 物理系。该研究旨在为范德华异质结构中莫尔超晶格图案的应变张量（strain tensor）与扭转角（twist angle）提取提供一套标准化且实用的方法，同时明确该方法在缺乏额外实验信息时的局限性。

研究的学术背景源于莫尔超晶格在范德华异质结构研究中的核心地位。当两层原子级薄层以一定相对扭转角接触时，由于晶格常数或取向失配，会产生大尺度的莫尔超晶格图案。莫尔图案不仅深刻影响体系的哈密顿量，也常被用来间接提取局部应变张量。然而，规则莫尔图案的周期性可以直接换算扭转角，但实际实验中图案常常随空间变化，此时提取应变与扭转角并不简单。已有多种成像手段，如扫描隧道显微镜（STM）、压电响应力显微镜（PFM）、导电原子力显微镜（CAFM）、散射式扫描近场光学显微镜（s-SNOM）、微波阻抗显微镜和透射电子显微镜（TEM）等，被用于观测莫尔图案并尝试提取应变信息。虽然此前已有若干论文讨论过应变提取，但仍缺乏统一标准，且从莫尔图案中可提取的信息受限于未知的衬底晶格取向与异质应变解耦问题。因此，本文的核心目标是通过系统推导建立应变与扭转角提取流程，并提供可在实验中直接使用的代码工具，同时清楚说明方法的固有局限。

在方法和工作流程方面，作者首先建立了一个理论模型。模型假设两层六角晶格，第一层晶格常数为 α1，第二层为 α2，第二层相对于第一层存在未知扭转角 θ。莫尔图案由两个观测矢量 v1 和 v2 描述，长度分别为 λ1 和 λ2，取向角分别为 φ1 和 φ2。研究聚焦于莫尔单胞尺寸而非亚莫尔细节，因此忽略原子尺度弛豫效应。应变场被假定在莫尔尺度上缓变，并可局部写为 u® = σ̂ r 的位移场形式。由于莫尔图案主要反映两层之间的异质应变（heterostrain），而共模应变只会产生低于约 2% 的可忽略影响，作者将第一层视为刚性衬底，异质应变完全编码在第二层的位移场中。通过定义相邻 A 位点的取向角 φ0 以及表征 A 位点位置的基矢 b1、b2，可以写出两层各自的 A 位点位置表达式。在此基础上，作者得到观测矢量 [v1 v2] 与晶格失配参数 δ、旋转矩阵 R_θ、单位矩阵 i2 以及应变张量 σ̂ 的关系式。

随后，作者通过强制应变张量对称化条件 σ̂1,2 = σ̂2,1，将扭转角 θ 表示为 φ0、莫尔矢量参数 λ1、λ2、δφ 以及晶格失配 δ 的函数。剪切应变 ϵs 被发现与 φ0 无关，可直接由 λ1、λ2、δφ 和 δ 解析给出。压缩应变 ϵc 和应变角 γ 则依赖于 φ0。这说明仅凭莫尔图案无法获得唯一的扭转角与应变张量解，因为衬底晶格取向 φ0 通常是未知的。为了解决这一不确定性，作者提出可以通过选择使总压缩应变平方 ϵc² 最小的 φ0 来给出一个合理估计。该选择基于物理直觉：实际应变通常应尽可能小。

在实验示例与方案应用部分，作者首先考察了无晶格失配的系统，即 α1 = α2 且固定 λ1 = λ2 = 10 nm 的情况。当莫尔矢量夹角 δφ 为 60° 时，最小化总应变所得的 θ 与公式 λ = α / [2 sin(θ/2)] 预测值一致。在失配系统中，作者系统探索了 δφ 和 λ2/λ1 组成的二维参数空间。结果发现，在大部分区域压缩应变 ϵc 可以保持为零，但在由虚线标出的区域，ϵc 无法为零，并出现扭转角突变。剪切应变 ϵs 随着偏离 δφ = 60° 且 λ1 = λ2 的点而增大，其取向围绕该点旋转。这些参数空间分析展示了该提取方案在多种莫尔几何下的表现，并为实际实验图像的解释提供了直观参考。

对于空间变化的莫尔图案，作者将方案扩展到逐点提取。实验数据来自扭曲的 WSe2/MoSe2 异质结构的 STM 形貌图。图像中存在两个气泡，导致大尺度形貌特征并使莫尔图案发生空间变化。经过背景扣除后，可以通过定义莫尔注册函数 i® 和 j® 来描述 A−A 堆叠的整数等值线。利用多项式拟合 i® 和 j®，再通过解析梯度得到局部莫尔矢量场 v1® 和 v2®。在此基础上，通过选择全局统一的 φ0 使整幅图像的 ϵc®² 积分最小化，即可得到扭转角、压缩应变和剪切应变的空间分布图。该示例表明，该方案可以处理非均匀莫尔图案。但作者也指出，气泡好像被限制在异质结构下方，对两层施加了共模应变，而不是异质应变，因此图 1c−e 中扭转角与应变张量图并未以明显方式反映出气泡引起的应变。这说明在存在共模应变的情况下，刚性衬底假设可能失效。

在方案局限性部分，作者特别强调了几点。首先，以最小化压缩应变作为选择 φ0 的准则虽然合理，但所提取的扭转角和应变张量并不保证与实际实验构型一致。若有额外实验信息，例如已知衬底晶格取向，则应直接用于确定 φ0。其次，在极小扭转角的同质双层结构中，应变可能在小于莫尔超晶格尺度的范围内变化，此时莫尔单胞不再是应变场的良好代理，需要借助更详细的力学弛豫计算来提取应变。此外，当原子弛豫效应显著时，亚莫尔尺度上的额外应变不可忽略，本方法将不再适用。作者同时提供了支持信息中的 MATLAB 代码，便于其他研究者直接使用该提取流程。

文章的结论部分总结了该工作的意义。作者提供了一套从实验可观测莫尔超晶格提取应变张量与扭转角的具体方案，并明确了方法成立的前提条件和不确定性来源。该工作不仅有助于统一领域内不同实验团队的处理方式，也通过提供代码工具降低了使用门槛。科学价值在于厘清了仅依赖莫尔图案时信息提取的理论界限，特别是异质应变与衬底取向之间的简并问题。应用价值则体现在该方案可直接用于 STM、PFM、CAFM、s-SNOM、微波阻抗显微镜等多种成像实验中获得的莫尔图案，为研究范德华异质结构中的应变工程、莫尔势调控以及相关量子现象提供了实用的分析手段。文章的突出之处在于：明确指出了莫尔图案——应变提取问题的非唯一性；提出了以最小化压缩应变作为普适性选择准则；实现了从均匀到空间变化莫尔图案的完整处理流程；并给出了可直接使用的 MATLAB 实现。这些内容为范德华异质结构研究中的莫尔计量学（moiré metrology）提供了标准化参考。