作者： W. L. Hankey 和 J. S. Shang
单位： 美国空军飞行动力实验室（Air Force Flight Dynamics Laboratory, Wright-Patterson Air Force Base, Ohio）
发表期刊： AIAA Journal, Vol. 18, No. 8, August 1980 (论文编号: 79-0136R)
首次发表： 在1979年1月15日至17日于新奥尔良举行的 AIAA 第17届航空航天科学会议上发表。
学术背景与研究目的
本研究属于非定常空气动力学（Nonsteady Aerodynamics）和粘性非边界层流动（Viscous Non-Boundary-Layer Flows）领域。当飞机以高速飞行时，暴露在气流中的开式空腔（Open Cavities），例如武器舱（Weapon Bays），会引发强烈的自激压力振荡（Self-Induced Pressure Oscillations）。在特定飞行条件下，这些振荡的振幅足以对飞机结构造成破坏。尽管前人已经通过大量的实验和分析研究了这种压力波动，并对外部剪切层（Shear Layer）与空腔声学扰动（Cavity Acoustical Disturbances）之间复杂的相互作用有了定性的了解，但此前从未有研究通过完整的流体力学控制方程（Governing Fluid Mechanical Equations）进行过数值计算。因此，本研究的根本目的是首次通过求解纳维-斯托克斯方程（Navier-Stokes Equations）来获得开式空腔问题的数值解，为分析这一现象提供一种全新的工具。
研究工作流程
为实现上述目标，研究分为三个主要阶段：分析性研究（Analytical Study）、数值计算（Numerical Computation）以及与先前实验研究的对比验证（Comparison with Previous Experimental Investigations）。
第一阶段：分析性研究 为了理解空腔振荡的机理，研究者首先建立了一个分析模型。他们考虑了空腔内前向（Forward）和后向（Rearward）传播的压力波，并建立了一个波图（Wave-Diagram）。当这两种波同步时，便形成驻波（Standing Wave）。通过数学模型推导，研究者得出了用于确定振荡模态频率的方程，该方程与经典的Rossiter公式一致，能够有效预测空腔的谐振频率。然而，这个线性模型无法预测不同模态的扰动强度。 为了解释为何只有特定模态的振荡会持续并放大，研究者进行了线性稳定性分析（Linear Stability Analysis）。他们从描述无粘流动的欧拉方程（Euler Equations）出发，通过假设小扰动（Small Perturbations），推导出由Lees和Lin首次提出的稳定性方程，该方程在不可压缩流中可简化为瑞利方程（Rayleigh Equation）。研究团队对一个具有双曲正切速度剖面（Hyperbolic Tangent Velocity Profile）的剪切层进行计算，求解了瑞利方程的特征值。结果显示： 1. 仅在低频率，即无量纲波数（Dimensionless Wave Number）小于1时，扰动才是不稳定的（Amplification Factor > 0），这意味着短空腔（L < 2πδ）不会产生谐振。 2. 扰动的前向传播速度（(Cr)）约为自由来流速度（(U\infty)）的一半（即k值在0.5到0.6之间），这与Rossiter的实验结果高度一致。 3. 瑞利不稳定性在马赫数（Mach Number）超过2.5时消失，确认了超音速下的分离流比亚音速下更稳定。 研究人员进一步利用这些分析结果，对一个特定尺寸的空腔进行了模态强度预测，发现第二模态的放大率最大，而第四模态及以上是稳定的。这一发现与风洞试验的频谱分析结果在模态的分布和相对幅值上完全吻合。此外，通过分析不同马赫数下的最大放大因子，他们推断出最大压力波动强度将出现在马赫数接近1的地方，这也被其他实验所证实。
第二阶段：数值计算 线性稳定性理论无法确定压力振荡的绝对水平（Absolute Level），因此研究者转向对非线性纳维-斯托克斯方程进行数值求解。他们选用MacCormack发明的时空显式有限差分法（Time-Dependent Explicit Finite Difference Method）来执行计算。计算中，湍流闭合（Turbulent Closure）问题通过引入带有松弛修正（Relaxation Modification）的Cebeci-Smith涡粘性模型（Eddy Viscosity Model）来解决。为了评估湍流模型的影响，研究者还进行了抑制涡粘性的参数研究，结果与基本解偏差很小，从而验证了模型的充分性。 该计算程序由Shang先前开发并在此次应用中进行了修改以适配边界条件。计算域为一个包含91.44 x 40.64厘米空腔的182.9 x 91.44厘米区域，使用78 x 52的非均匀网格进行离散。壁面、上游、下游及上边界均设定了详细的物理边界条件。计算的时间步长对应于库朗数（Courant Number）0.2，所有计算均在CDC 6600计算机上完成，每网格点每时间步的数据处理时间为0.0017秒。 数值计算选定的工况与Heller和Bliss的实验条件相匹配，以便进行直接比较：马赫数 (M = 1.5)，空腔长深比 (L/D = 2.25)，雷诺数 (Re = 1.28 \times 10^6/m)，剪切层初始厚度 (\delta_0 = 2.54) cm。
研究结果与分析
第一阶段的分析性结果清晰地解释了谐振的成因以及马赫数对不稳定性的影响，但更重要的是，它为数值计算提供了关键的指导信息，例如网格点分布和所需的时间步长大小，以确保能够解析流动特征。
第二阶段的数值计算结果随后被详细展示并与实验数据进行了广泛对比。 1. 流场结构与速度分布： 数值解呈现了空腔上方剪切层的有序发展，上游附着湍流边界层（Attached Turbulent Boundary Layer）在前舱壁处分离，形成自由剪切层，并在空腔下游重新附着（Reattach）。空腔内部呈现亚音速的再循环（Recirculation）流动结构。计算得到的空腔上、下游的平均速度剖面（Velocity Profiles）与实验测量结果非常吻合，下游的偏差仅为7%，且准确捕捉到了下游边界层内部由振荡引起的速度波动。 2. 时间平均表面压力： 计算出的空腔表面时间平均压力分布与实验数据趋势一致，尽管绝对值普遍偏低约10%，最大偏差出现在压力梯度最大的后舱壁附近。 3. 压力振荡历史： 通过监测空腔内特定点的静压变化，发现了一个由多种频率和振幅组成的复合波系统（Compound Wave System）。由于计算仅覆盖了约9个特征时间（Characteristic Time, 定义为流体粒子以自由来流速度穿过空腔长度所需的时间），为了进行定性比较，研究者将计算结果周期性地重复，其波形与实验振荡图在形态上展现出相似性。 4. 频谱分析： 对数值结果的频谱分析识别出了四个离散的模态频率（154, 308, 462, 616 Hz），分别对应第一至第四模态。其中，第二模态（308 Hz）为主导，这与实验数据中的300 Hz以及Rossiter公式预测的328 Hz吻合良好，声压级（db）的差异在10%以内。 5. 波系传播与密度等值线： 研究直接从数值结果中识别了空腔内的后向行进波，其传播速度计算值为244.4米/秒（对应k=0.53），与之前的分析预测一致。压力振荡的振幅（计算值 ±6.464 kPa vs 实验值 7.182 kPa）也仅相差约10%。最后，一个完整周期的密度等值线（Density Contours）序列图生动地复现了振荡的物理全过程，包括内部波系的来回运动、反射以及外部激波（External Shock Wave）的产生和运动，这与水台实验（Water Table Experiment）的观察结果在定性上完全一致。
结论与价值
本研究在学术和工程上均具有开创性意义。首先，它首次通过数值求解完整的非定常纳维-斯托克斯方程，成功预测了超音速开式空腔的压力振荡现象。预测的振荡频率和量级均得到了实验的定性及定量验证，标志着计算流体力学在解决此类复杂、非线性非定常问题上的巨大能力。其次，将线性稳定性分析与非线性数值模拟相结合的方法论，为深入理解物理机制和进行工程预测提供了一个强有力的范例。从应用价值上看，该研究为预测飞机武器舱等开式空腔结构所承受的动态载荷，进而防止结构疲劳和破坏，提供了一种可行的数值工具，对未来飞行器的安全设计具有重要意义。
研究亮点 - 开创性的数值解： 首次获得开式空腔压力振荡问题的完整粘性流（Viscous Flow）数值解，填补了该领域的空白。 - 方法论的结合： 成功地将简化的线性稳定性理论作为指导，精确地应用于复杂的非线性数值模拟的设置与分析中，实现了效率与精度的结合。 - 多层次的全面验证： 从传播速度k、频率、模态强度、速度剖面、平均压力到压力振幅，将计算结果与多项实验数据和理论公式进行了系统性地、定量地对比，验证程度远超单纯的现象描述，证实了Navier-Stokes方程数值解的预测能力。