本研究发表于《Acta Astronautica》期刊，于2018年8月8日在线发布，并收录于2019年的第158卷。研究的核心作者是来自德国航空航天中心空间推进研究所的Victor P. Zhukov与Klaus P. Heinrich。该研究是一篇关于计算流体动力学数值方法验证的原创性研究论文，旨在量化网格收敛性对火箭发动机燃烧室模拟结果的影响，特别是针对采用先进多孔喷注器（API-68）的燃烧室。
本研究隶属于航天推进技术领域，具体聚焦于液体火箭发动机燃烧室的计算流体动力学模拟与数值方法验证。当前，商业航天公司带来的成本压力以及政府航天机构降低预算的诉求，对火箭发动机的“成本效益”提出了更高要求。这催生了一系列旨在降低制造成本、同时提升性能的技术，德国航空航天中心（DLR-Lampoldshausen）在过去十年研发的先进多孔喷注器（Advanced Porous Injector, API）便是其中之一。API通过一个多孔板均匀注入燃料，氧化剂则通过大量均匀分布在多孔板上的小型喷注器（类似花洒头）注入，这种设计有望降低制造成本并实现更优的性能。
在发动机研发阶段，CFD模拟是降低成本的重要手段，而模拟结果的准确性高度依赖于数值网格的质量。此前，Zhukov和Suslov在针对API-68喷注器燃烧室的壁面热流研究中发现，数值网格的疏密对模拟结果，特别是火焰长度，有显著影响——网格从260万单元加密到620万单元时，模拟的火焰长度从3厘米增长到5厘米。尽管后续继续加密网格未引起结果的显著变化，但网格影响尚未得到定量化的表征。因此，量化网格收敛性并评估与空间离散化相关的数值误差，成为本研究的明确目标。研究对象API-68喷注器的核心是一个由直径约0.6毫米青铜珠烧结而成的多孔板，板上均匀分布着68根不锈钢氧化剂喷管（外径2毫米，内径1.5毫米），氢气通过多孔板均匀注入。
本研究并非对完整燃烧室进行全局网格收敛性分析，而是针对流动梯度最高的火焰区域进行精细化研究。为了在可接受的计算成本下深入分析，研究策略进行了两步简化：首先，利用68个氧化剂喷注器呈矩形排列的对称性，将模拟域从整个燃烧筒缩减为45°扇形区域（如先前工作[2]所示）；其次，为进一步节约计算资源，本研究聚焦于两个具有代表性的单喷注器进行独立模拟。
第一步：研究对象与计算模型确立 研究选择了两个特定的氧化剂喷注器作为案例（如图2所示）： 1. 喷注器I：位于喷注器头中部，四周被其他喷注器环绕，其所有侧壁均可视为对称面。该案例结构简单，边界影响最小，便于孤立地研究网格对火焰本身的影响。 2. 喷注器II：位于靠近燃烧室侧壁的位置。由于侧壁的热载荷是CFD模拟的核心关切之一，而外侧喷注器对壁面热流影响最大，因此该案例用于评估网格对壁面热流预测的影响。其模拟域的一侧设置为无滑移等温壁面边界条件，壁面温度根据实验测量值分段设定，粗糙度设为5微米。
计算采用商业CFD软件ANSYS CFX求解Favre平均的纳维-斯托克斯方程。物理模型延续自先前工作[2]：湍流采用SST k-ω模型；湍流燃烧采用扩展的涡耗散模型，该模型通过一个基于当地氧氢原子质量比查表获得的“最高火焰温度”参数来调控化学反应程度。边界条件（如表1所示）完全参照文献[2]：氧化剂和氢气均以低温（分别为120K和100K）注入，出口设定压力。数值格式的关键在于，由于火焰区域温度和组分浓度梯度极大，使用二阶“高分辨率”格式求解连续性方程、动量方程、湍流动能及比耗散率方程，而在遇到不连续时会自动降至一阶；但对于焓和组分质量分数的输运方程，由于使用二阶格式会导致求解器发散（数值色散问题），被迫采用一阶迎风格式。这种混合阶格式的使用，是导致后续网格收敛呈现特定混合阶特性的根本原因。
第二步：网格生成与收敛性研究设计 以前期工作[2]中的网格作为基准网格（Mesh III）。该非结构网格在火焰区域具有均匀的平均节点间距150微米。在壁面附近和氧化剂喷注器壁周围布置了棱柱层，其中氧化剂喷注器尖端的第一层网格厚度约为4微米（对应y+≈11）。研究为喷注器I和II各自生成了五套网格（Mesh I-V）。网格的加粗与细化采用全局因子，细化因子为∛2（约1.26），这意味着每次细化网格节点数大约翻倍。这种相对温和的细化因子选择，是为了在三维模拟中避免网格规模爆炸式增长，使研究在有限计算资源下能够探索更宽的网格间距范围。最粗的网格（Mesh I）间距为238微米，最细的网格（Mesh V）间距为95微米。
第三步：关键参数定义与数据分析方法 针对两个喷注器案例，研究定义了不同的关键考察参数： 1. 喷注器I：以火焰长度作为量化网格收敛的主要参数。因其对网格密度敏感且易于测量解释。研究中将火焰长度定义为从喷注器板面到喷注器轴线上温度达到2000K点的距离（对应于图3中绿黄交界色）。 2. 喷注器II：以燃烧室侧壁分段（每段50毫米长）的平均壁面热流作为主要考察参数，因为预测热载荷是工程模拟的最终目标。
数据分析的核心是建立关键参数（火焰长度f或壁面热流）与网格间距h之间的函数关系。鉴于数值格式是混合阶的（一阶和二阶并存），研究借鉴Roy的方法，采用一个混合阶方程（抛物线）来拟合数据： f(h) ≈ f_exact + c1*h + c2*h^2 其中，f_exact代表网格间距趋近于零时的“精确解”，c1和c2分别为一阶和二阶误差项的系数。通过五组网格的数据点拟合出该抛物线，即可外推得到f_exact，并进而计算任一网格下的空间离散化误差：[(f(h) - f_exact) / f_exact] * 100%。同样的方法被应用于喷注器II各段壁面热流的分析。
喷注器I的网格收敛性结果： 网格研究结果清晰地展示在表2及图3、4中。随着网格从粗到细（间距从238μm减小到95μm），模拟的火焰长度从30.2毫米单调增长至47.0毫米（见图3）。图4显示，火焰长度与网格间距的依赖关系能够被抛物线方程（2）极好地描述。通过拟合得到的“精确”火焰长度f_exact为67.7毫米。 基于此，图5绘制了火焰长度的空间离散化误差随网格间距的变化。结果显示，在所测试的网格范围内，火焰长度的误差高达30%-60%。误差由一阶项（c1*h）和二阶项（c2*h^2）构成，且两者符号相反。在间距大于0.1毫米时，二阶项贡献显著；但当间距小于0.1毫米后，误差收敛实际上呈现一阶特性，这与对焓和组分方程采用一阶格式的理论预期一致。研究指出，在间距约30微米时，火焰长度的预测误差约为10%，这为可接受的模拟精度提供了一个网格尺度的参考。
喷注器II的网格收敛性结果： 对于壁面热流，图6展示了喷注器II的温度场，可见火焰受侧壁影响向壁面弯曲。图7和图8分别显示了靠近喷注器段（第1-3段）和下游段（第4-5段）的平均壁面热流随（归一化）网格间距的变化。同样，抛物线方程（2）能够很好地描述这种依赖关系。影响程度随轴向距离增加而减弱：距离喷注器板50-100毫米的第2段受网格间距影响最大（绝对值），而更下游的第4、5段影响甚微（图8纵坐标尺度远小于图7）。 图9汇总了各段壁面热流的空间离散化误差。误差在靠近喷注器的第1、2段最大，且显著高于喷注器I中火焰长度在相同网格尺度下的误差。例如，在网格间距约为30微米时，火焰长度误差为10%，但第1、2段壁面热流的误差仍高达50%。作者分析，这有两个原因：一是火焰长度的变化导致高温气体与侧壁的接触位置在40-60毫米之间移动，恰好跨过了第1、2段的分界（50毫米），直接影响这两段的平均热流；二是更重要的，喷注器II的模拟域包含了火焰与侧壁边界层相互作用的区域，该区域的网格相对较粗，导致此关键物理过程的模拟误差较大。因此，要准确预测壁面热流，不仅需要全局细化的网格，更需要在火焰与边界层相互作用区域进行局部加密。文中也指出，喷注器II是特意选出的对侧壁影响最大的案例，整个燃烧室的平均壁面热流误差会因其外围喷注器距侧壁较远而相对较小。
讨论与深入分析： 研究深入讨论了混合阶收敛方程带来的两个重要后果：1）当网格间距h趋于零时，收敛阶实际上由低阶项（此处为一阶）主导；2）一阶项与二阶项符号可能相反而相互抵消，导致在某个特定h值附近，结果看起来似乎对网格不敏感或甚至出现“伪收敛”现象。这强调了进行网格收敛性研究时，需要使用足够多的网格（至少4套）来可靠地确定收敛阶和误差水平，尤其是在使用混合阶格式或误差较大的情况下。研究还解释了为何在火箭燃烧室模拟中难以完全采用二阶格式：在高压下，氢氧层流火焰前锋厚度仅约100-200微米，模拟中参数在火焰内发生数量级变化。高阶格式在如此剧烈的梯度附近会产生数值色散（伪振荡），导致计算发散，因此被迫在关键方程上使用鲁棒性更强但精度较低的一阶格式。
本研究通过对API-68多孔喷注器燃烧室中两个代表性单喷注器进行系统的网格收敛性研究，得出以下核心结论： 1. 由于数值格式的混合阶特性（对焓和组分用一阶迎风，其他变量用可降阶的“高分辨率”格式），模拟结果在空间上呈现混合阶精度，即关键参数（火焰长度、壁面热流）对网格间距h的依赖关系可以很好地用一个抛物线方程来描述。 2. 要准确评估此类模拟的网格收敛阶、误差水平及外推“精确解”，至少需要四套不同密度的网格。若网格变化范围窄或误差本身很大，则需要更多网格以确保可靠性。一阶与二阶误差项符号相反可能导致对“已收敛”的误判。 3. 针对所研究的API-68燃烧室，使用当前CFD模型，在火焰区域达到约30微米的网格间距，可以获得对火焰长度合理的模拟精度（误差约10%）。 4. 对于壁面热流的预测，特别是靠近喷注器、火焰与侧壁边界层发生相互作用的区域，需要比火焰区域更精细的网格布局（局部加密）才能将空间离散化误差控制在可接受的水平。
科学价值与应用价值： 本研究为采用复杂物理模型和混合阶数值格式的火箭发动机燃烧室CFD模拟，提供了一套严谨的网格收敛性分析方法和量化评估框架。它明确指出并量化了网格密度对关键工程参数（火焰长度、壁面热流）的显著影响，强调了在CFD作为设计工具时进行网格无关性验证的必要性。研究结论对工程实践具有直接指导意义：为平衡计算成本与模拟精度，指出了针对不同目标（如观察火焰形态或预测壁面热载）所需的大致网格分辨率水平，并特别提醒在火焰-壁面相互作用区域进行局部网格加密的重要性。
研究亮点： 1. 研究对象的特殊性：聚焦于具有创新性的先进多孔喷注器（API-68）这一新型火箭发动机部件，其流动和燃烧特性具有研究价值。 2. 方法的系统性与深入性：并非简单比较两三套网格，而是设计了包含五套网格、采用数学拟合（抛物线方程）来外推“精确解”和分解误差项的系统化分析流程，揭示了混合阶格式下误差构成的复杂性。 3. 关键发现的明确性：清晰揭示了在火箭燃烧室这种具有极端梯度的模拟中，受数值格式所限，实际收敛阶为一阶的现状，以及壁面热流预测比火焰长度预测对网格更敏感的事实，并给出了定量的误差水平估计。 4. 对CFD实践的重要警示：明确指出由于误差项可能相互抵消，在少数网格上观察到的“网格无关性”可能是假象，强调了进行充分网格收敛性研究的重要性，防止基于未充分验证的网格得出不可靠的工程结论。
研究还提及了相关实验背景：所使用的燃烧室是一个直径50毫米的分段式铜制量热计燃烧室，各分段可以测量壁温、壁面热流和静压。这为CFD模拟的验证提供了实验基准（尽管本网格研究未直接对比实验值）。同时，文中纠正了先前文献[2]中关于氧化剂喷管内径的一个错误数据（正确为1.5毫米），体现了研究的严谨性。最后，该研究工作曾于2017年在米兰举行的第七届欧洲航空与空间科学会议上宣读。