全球电磁感应非线性共轭梯度反演研究：分辨率分析

作者与发表信息

本研究由Anna Kelbert、Gary D. Egbert（均来自美国俄勒冈州立大学海洋与大气科学学院）和Adam Schultz（同时任职于美国国家科学基金会海洋科学部）共同完成，发表于2008年的《Geophys. J. Int.》期刊第173卷，第365-381页。

学术背景

这项研究属于地球物理电磁感应领域，旨在解决地幔电导率三维结构反演的关键问题。传统地震层析成像已证实地幔存在显著横向不均匀性（如Jordan 1975; Romanowicz 2003等研究），而实验室对橄榄石等矿物的电导率测量（Hirsch & Shankland 1993b; Xu et al. 1998）也支持上地幔电导率存在更强横向变化。然而，现有全球地磁台站数据无法用一维模型拟合（Schultz & Larsen 1990），且海洋-大陆电导率差异无法解释观测到的地理变异（Kuvshinov et al. 1990; Tarits 1994）。随着计算资源的快速发展，三维电磁反演变得可行，本研究开发了基于非线性共轭梯度（non-linear conjugate gradients, NLCG）的三维电磁反演算法。

研究方法与流程

1. 反演算法开发

研究团队建立了正则化最小二乘反问题，定义惩罚函数为：

Φ(m) = [ψ(m)-d]^H C_d^{-1}[ψ(m)-d] + λ(m-m0)^T C_m^{-1}(m-m0) 

其中m为模型参数，d为数据向量，ψ为非线性数据泛函，C_d和C_m分别为数据和模型协方差算子。创新性地通过模型协方差平方根算子C_m^{¹⁄₂}实现Tikhonov正则化，避免直接求逆。

2. 正演求解器

采用Uyeshima & Schultz (2000)发展的三维频域正演求解器，基于球坐标交错网格有限差分法，类比Mackie & Madden (1993a,b)的笛卡尔公式。通过双共轭梯度法（bicgstab）求解离散化的Maxwell方程组，并应用散度校正保证∇·h=0。计算域包含电阻性大气和导电性地壳-地幔，下边界设在地核-地幔边界（CMB，约2890km深度），上边界设在10倍地球半径处。

3. 数据与响应函数

处理两类地磁响应函数： - C响应比率（c ratios）：C_r(ω)=(a/2)(h_r/h_θ)，避免传统C响应在赤道的奇点 - D响应比率（d ratios）：D_r(ω)=(a/2)(h_φ/h_θ)，对横向不均匀性敏感

4. 模型参数化

地幔12.65km深度至CMB分为垂直层（通常8-20层），每层电阻率用球谐函数参数化：

log10 ρ_k(θ,φ) = Σ[a_l^m S_l^m(cosθ)cos(mφ) + b_l^m S_l^m(cosθ)sin(mφ)] 

其中S_l^m为Schmidt半归一化缔合Legendre函数。模型协方差结合水平（C_h）和垂直（C_v）平滑算子，水平平滑通过系数c_l=l^{-α/2}（α>0）压制高阶球谐项，垂直平滑通过三对角矩阵实现层间正则化。

5. 灵敏度计算

采用伴随方法高效计算数据灵敏度，通过链式法则分解：

∂ψ_j/∂m = (∂ψ_j/∂h)(∂h/∂ρ)(∂ρ/∂m) 

其中核心项∂h/∂ρ通过求解带有内部源的扰动Helmholtz方程获得。该方法只需正演计算两次（一次直接问题，一次伴随问题），不受模型参数数量限制。

合成数据实验结果

1. 垂直分辨率测试

使用理想化数据测试显示： - 周期5.12-107天的数据可分辨670-1600km深度大尺度（300-500km垂直尺度，数千km水平尺度）电导率异常 - 加入0.2-5天的日变化数据可显著提高上地幔结构分辨率 - 无垂直平滑时反演结果出现异常峰值，证实垂直平滑的必要性

2. 水平分辨率测试

基于Fujii & Schultz (2002)台站分布模拟显示： - 现有54个中纬度台站数据可分辨过渡带底部至1600km深度的大尺度特征 - 增加35个INTERMAGNET台站可改善南半球等数据稀疏区的分辨率 - 额外增加38个假设台站（基于IRIS地震台网）可进一步提高小尺度特征分辨

3. 基于sprd6模型的真实案例

将Ishii & Tromp (2001)剪切波速度模型转换为电导率扰动模型后： - 即使加入小尺度随机扰动（球谐阶数达14阶），反演仍能恢复原始大尺度结构 - 在中等深度（分辨率最佳区域）重建效果良好 - 数据覆盖稀疏区域的特征被平滑或混叠

结论与价值

本研究发展的伴随NLCG反演技术具有以下科学价值： 1. 计算可行性：在普通工作站上2-3天即可完成反演，适合现有稀疏台站数据分辨率 2. 方法创新：通过模型协方差平方根实现高效预条件，结合伴随方法大幅提升计算效率 3. 应用价值：明确了现有数据对地幔电导率结构的分辨能力，为台站布局和数据处理提供指导 4. 科学意义：证实扩展至日变周期数据可显著提升上地幔分辨率，推动更精确的短周期响应函数研究

研究亮点

1. 首次实现全球尺度三维电磁感应的全非线性共轭梯度反演
2. 创新的伴随灵敏度计算方法，突破传统直接法的参数限制
3. 系统性分辨率分析揭示了地磁数据对地幔电导率结构的实际分辨能力
4. 提出球谐参数化与层状模型结合的灵活框架，平衡计算效率与模型自由度

其他有价值内容

研究指出近地表电导率（12.65km以上）的误差对Fujii & Schultz (2002)数据周期范围内的反演影响有限，但完全忽略会导致上地幔（约410km以上）出现虚假高导异常，特别是在海洋下方。这强调了准确近地表模型的重要性，同时也表明现有数据对深部结构的分辨相对稳健。