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神经网络反向流变换在量子多体波函数中的应用研究

作者及机构
本研究的通讯作者为Di Luo和Bryan K. Clark，均来自美国伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校（University of Illinois at Urbana-Champaign）的凝聚态理论研究所和物理系。该研究于2019年6月4日发表在物理学领域顶级期刊《Physical Review Letters》（Phys. Rev. Lett.），标题为“Backflow transformations via neural networks for quantum many-body wave functions”。

学术背景
量子多体问题是凝聚态物理和量子计算领域的核心挑战之一，其核心目标之一是准确求解多体系统的基态波函数。传统方法如平均场理论（mean-field theory）虽然提供了初步的近似，但无法捕捉强关联效应。研究者们尝试通过Jastrow因子（Jastrow factor）和反向流变换（backflow transformation）等方法对平均场波函数进行修正，但这些方法的灵活性和精度有限。

近年来，神经网络在量子多体问题中展现出潜力，例如受限玻尔兹曼机（RBM）和前馈神经网络（FNN）等。然而，这些方法通常直接输出波函数振幅，难以同时保留平均场物理和修正符号结构（sign structure）。为此，本研究提出了一种新型波函数——神经网络反向流（Neural Network Backflow, NNB），旨在通过神经网络学习最优的单粒子轨道变换，从而直接修正平均场波函数的符号结构并提升精度。

研究流程
1. 波函数构建
- 研究提出了两种NNB波函数：基于Slater行列式的ψsn和基于BCS配对波函数的ψpn。两者均通过前馈神经网络（FNN）生成反向流变换，修正单粒子轨道：
[ \phi{bk\sigma}(r{i,\sigma}; r) = \phi{k\sigma}(r{i,\sigma}) + A^{nn}{ki,\sigma}® ] 其中，(A^{nn}{ki,\sigma}®)由FNN输出，输入为电子构型（configuration）(r)。
- ψpn额外引入一个FNN修正配对矩阵(s_{kl}®)，使其具备更强的灵活性。
- 神经网络采用三层全连接结构，输入层为2n神经元（n为晶格尺寸），表征自旋构型；隐藏层包含mn个ReLU激活神经元；输出层为(O(n^2))神经元，对应反向流变换值。

1. 优化与计算

   • 通过变分蒙特卡洛（Variational Monte Carlo, VMC）优化神经网络权重和偏置。
     
   • 创新性地将行列式计算融入反向传播流程，使得梯度计算复杂度与波函数评估相当（(O(mn^4))每扫描步）。
     
   • 采用随机梯度步长或RMSprop方法避免局部极小值。
     

2. 基准测试

   • 在Hubbard模型（U/t=8，填充数n=0.875）上测试，对比传统方法（如标准反向流ψpb和非优化Slater行列式ψs0）。
     
   • 评估指标包括：基态能量相对误差、双占据密度（double occupancy）、自旋与电荷密度对称性恢复情况。
     

主要结果
1. 能量精度
- ψpn在4×4 Hubbard模型上的基态能量相对误差仅为1.4%，经方差外推后降至0.66%，显著优于ψpb（误差>2.5%）和ψs0。
- 系统尺寸扩展至4×L（L=4,8,12,16）时，NNB结果与DMRG（密度矩阵重整化群）的无限长条带结果（-0.7659±4×10^-5）高度吻合，验证其可扩展性。

1. 对称性恢复

   • 随着隐藏神经元数量增加，NNB修复了平均场波函数中破缺的自旋-电荷对称性（图3）。例如，128神经元下自旋密度分布趋于均匀。
     
   • 单粒子轨道分析（图4）显示，尽管自旋上下轨道由独立神经网络修正，输出仍保持对称性，而传统非限制性Slater行列式（ψs0）则显著破缺对称性。
     

2. 符号结构修正

   • ψsn与ψs0的符号结构差异达9%（通过积分(\int |\psi{s0}|^2 \text{sgn}(\psi{sn})\text{sgn}(\psi_{s0})dx)量化），表明NNB能有效修正平均场的符号问题。
     

3. 神经网络可解释性

   • 权重分析（图5）揭示：自旋上神经网络主要连接自旋下构型输入，反之亦然，表明NNB通过交叉自旋关联引入强关联效应。
     
   • 多数隐藏神经元的偏置为负值，可能对应抑制高能构型的物理机制。
     

结论与价值
1. 科学价值
- NNB首次将神经网络与反向流变换结合，兼具平均场物理的直观性和神经网络的高表达能力。
- 通过直接修正单粒子轨道，NNB克服了传统神经网络波函数难以兼顾符号结构与平均场优势的缺陷。

1. 应用前景
   
   • 可推广至连续空间系统（如电子气）和阻挫自旋系统（如Kagome海森堡模型，论文补充材料已验证）。
     
   • 为强关联体系的变分计算提供了新范式，其模块化设计（如替换平均场初猜）具有广泛适用性。
     

研究亮点
1. 方法创新
- 提出首个可显式表示标准反向流的三层神经网络架构，证明NNB的普适性。
- 开发了高效的行列式-神经网络联合梯度计算算法，显著降低计算开销。

1. 物理发现
   
   • 揭示NNB通过隐式学习交叉自旋关联恢复对称性，为理解神经网络波函数的物理机制提供新视角。
     
   • 能量误差随神经元数线性下降的规律（尽管理论极限为指数收敛）提示NNB具有高效的数据压缩能力。
     

其他价值
- 开源代码与优化流程（如Blue Waters超算平台实现）为后续研究提供技术参考。
- 权重可视化工具（图5）为神经网络的可解释性研究提供了案例。

该研究不仅推动了量子多体数值方法的发展，也为机器学习与凝聚态物理的交叉研究树立了典范。