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作者、机构与发表信息

该研究由Miao Yu和Sheng Chai（均来自中国浙江大学电气工程学院）合作完成，于2021年6月22日发表在期刊*International Journal of Robust and Nonlinear Control*（DOI: 10.1002/rnc.5690）。研究标题为《Adaptive Iterative Learning Control for Discrete-Time Nonlinear Systems with Multiple Iteration-Varying High-Order Internal Models》，聚焦于离散时间非线性系统的自适应迭代学习控制（Adaptive Iterative Learning Control, AILC）方法设计。

学术背景

研究领域与动因
研究属于控制理论范畴，具体涉及迭代学习控制（ILC）在非线性系统中的应用。传统ILC方法依赖“严格重复性”假设（如系统参数、初始条件、参考轨迹在迭代过程中不变），但实际工业场景（如机械臂抓取不同质量工件、跟踪变化轨迹）常存在迭代变化（iteration-varying）的非重复性干扰，导致控制性能下降。

核心问题
1. 现有局限：
- 多数基于高阶内模（High-Order Internal Model, HOIM）的ILC方法假设内模的阶数和系数固定，无法描述迭代变化的内模（IVHOIM）。
- 已有研究多关注单一迭代变化因素（如参数或扰动），而实际系统可能同时存在多因素（multiple iteration-varying factors）（如时变输入增益、外部扰动）。
2. 研究目标：
- 设计一种面向离散时间非线性系统的AILC方法，兼容随机初始条件、未知时变输入增益及多迭代变化因素（参数和扰动），并利用IVHOIM刻画其变化规律。

研究流程与方法

1. 系统建模

研究针对一阶离散非线性系统（可扩展至高阶）：
[
x_k(t+1) = \boldsymbol{\Theta}_k(t)\boldsymbol{\xi}(x_k(t), t) + b(t)u_k(t) + d_k(t)
]
- 迭代变化参数 (\boldsymbol{\Theta}_k(t))：由IVHOIM生成，其阶数(m_k^{(i)})和系数(\rho_j^{(i)}(k))随迭代变化（如式3）。
- 外部扰动 (d_k(t))：分解为时变分量(d(t))和迭代变化分量(\bar{d}_k(t))，后者同样由IVHOIM描述（式10）。
- 创新建模方法：通过引入上界统一维度（式6-9），将时变参数转换为已知迭代变化向量(a_k^{(i)})与未知时不变向量(\boldsymbol{\theta}_0^{(i)}(t))的乘积，简化学习目标。

2. 控制器设计

提出基于递归最小二乘法（RLS）的自适应ILC方案（式14-17）：
- 控制律：(u_k(t) = \frac{1}{\hat{b}_k(t)} \left[ x_k^r(t+1) - \boldsymbol{\Lambda}_k^T \hat{\boldsymbol{\phi}}_k(t) \right])，其中(\hat{b}_k(t))和(\hat{\boldsymbol{\phi}}k(t))为参数估计。
- 参数更新：引入投影算子（式16）避免输入增益估计小于下界(b{\text{min}})，确保控制器可行性。
- 创新性：首次将IVHOIM嵌入AILC框架，通过Lyapunov理论证明迭代收敛性（定理1）。

3. 收敛性分析

• 关键步骤：构建Lyapunov函数（式20），证明参数估计误差有界（式33），并通过Key Technical Lemma（引理2）推导跟踪误差渐近收敛至零（式43）。
  
• 鲁棒性：兼容随机初始状态、时变参考轨迹及多类非重复性干扰。
  

4. 仿真验证

案例1：单输入非线性系统（式44）在两种场景下测试：
- 固定参考轨迹（式50）：误差在200次迭代内趋近零（图5），控制信号可行（图6-7）。
- 迭代变化参考轨迹（式51）：仍能实现渐近跟踪（图9-10）。
案例2：二阶机械臂模型（式52-54），验证方法对高阶系统的适用性（图14）。

主要结果

1. 理论贡献：
   
   • 严格证明了IVHOIM-AILC的收敛性，扩展了HOIM理论的应用范围。
     
   • 首次同时处理多迭代变化参数、时变输入增益和扰动，模型更具普适性（对比文献[42]）。
     
2. 仿真结果：
   
   • 最大绝对跟踪误差（式49）随迭代显著下降（图5、9、14），验证了算法有效性。
     
   • 控制信号（图6-7、11-12）未出现饱和或剧烈振荡，符合实际实施需求。
     

结论与价值

1. 科学意义：
   
   • 突破了传统ILC对重复性条件的依赖，为非严格重复系统提供了系统化控制框架。
     
   • 提出的IVHOIM建模方法为描述复杂迭代变化模式提供了新工具。
     
2. 应用价值：
   
   • 可直接应用于机械臂控制、批量生产等需处理迭代变化参数的工业场景（如例2的机械臂抓取任务）。
     

研究亮点

1. 方法新颖性：
   
   • 首个将迭代变化高阶内模（IVHOIM）融入AILC的研究，解决了内模阶数/系数时变的核心难点。
     
   • 采用RLS更新律，结合投影算子，平衡了学习速度与稳定性。
     
2. 全面性：
   
   • 同时涵盖参数、输入增益、扰动三类不确定性，优于现有单因素控制方案（如[31][45]）。
     

其他价值

• 开放性问题：作者指出未来可研究IVHOIM在二维离散系统（如[37]）或更复杂非线性模型中的应用。
  
• 代码实现：虽未公开，但仿真细节（如参数设置、初始化条件）描述充分，便于复现。
  

（注：全文共约2200字，涵盖研究全流程细节与创新点。）