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作者及机构
本研究由Technion以色列理工学院航空航天工程学院的Gilad Hakim和Haim Abramovich*（通讯作者）合作完成，发表于期刊Materials（2023年16卷，论文编号6967），于2023年10月30日正式出版。通讯作者邮箱为abramovich.haim@gmail.com，研究通过开放获取（CC BY 4.0协议）发布。
学术背景
研究领域：本研究属于固体力学中的薄板非线性变形问题，聚焦于方形薄板在大挠度（large deflection）下的力学行为，特别是膜应力（membrane stresses）与艾里应力函数（Airy stress function, ASF）的显式表达。
研究动机：尽管薄板在横向载荷下的非线性变形问题已有大量研究，但关于大挠度下膜应力及其与ASF的关系仍缺乏明确的数学描述。经典的冯·卡门方程（von Kármán equations）虽提供了理论框架，但因其非线性特性，至今缺乏满足边界条件的解析解。现有数值或近似方法存在局限性，如计算复杂、适用范围窄或无法直观展示全场应力分布。
研究目标：
1. 通过高保真有限元分析（FEA），推导方形薄板在均匀载荷下大挠度状态的膜应力、挠度及ASF的显式表达式；
2. 验证冯·卡门方程组的适用性；
3. 揭示大挠度下潜在的失效风险（如边缘高拉/压应力导致的局部屈曲或开裂）。
研究方法与流程
1. 问题定义与边界条件
- 研究对象：各向同性方形薄板（边长a，厚度h，杨氏模量E，泊松比ν），简化至2π×2π无量纲域，原点位于板中心。
- 边界条件：四边简支（SSSS）且可自由移动（movable edges），即：
- 横向挠度w=0，边缘弯矩M_x=M_y=0；
- 边缘法向应力σ_xx=σ_yy=0，剪切应力τ_xy=0。
2. 有限元建模与验证
- 软件与参数：采用Siemens Femap 2021.1与Simcenter Nastran构建非线性有限元模型，使用100×100四边形单元（单元尺寸6.28 cm），材料为聚碳酸酯（PC，E=2.4 GPa，ν=0.38）。
- 载荷与求解：施加800 Pa均布载荷，分20步增量加载，每步迭代至收敛，输出全场位移与应力数据至Excel进行后续分析。
3. 数学表达式生成
- 挠度函数w(x,y)：
- 通过FEA数据计算四阶混合偏导数∂⁴w/∂x²∂y²，拟合为双余弦傅里叶级数（19×19系数），再通过积分重构挠度场，引入对称性修正项（50项余弦级数）。
- 验证：中点挠度计算值（0.32256 m）与FEA结果（0.32244 m）误差<0.04%。
- 剪切应力τ_xy(x,y)：
- 采用正弦-正弦傅里叶级数拟合，系数矩阵对称，最大剪切应力3.2237 MPa。
- 艾里应力函数ϕ(x,y)：
- 通过τ_xy的积分及边界条件推导，首次给出ASF的显式表达式（含190个独立系数），其二次导数验证了膜应力分布与FEA的一致性。
4. 冯·卡门方程验证
- 将∂⁴ϕ和∂⁴w的数值解代入方程组残差形式，发现：
- 第二方程（平衡方程）在板中部区域吻合良好（平均残差0.76，标准差2.36）；
- 第一方程（相容方程）误差较大（平均残差-3183.38），可能与高阶导数噪声或载荷函数未耦合有关。
5. 载荷-挠度关系建模
- 提出改进的逆模型（取代传统三次多项式）：
$$
\frac{w_0}{h} = \frac{k_1 \left[ \frac{q a^4}{E h^4} \right]^{k_2}}{1 + 0.212(0.09-\nu^2)} + k_3 \left[ \frac{q a^4}{E h^4} \right]^{k_4}
$$
拟合优度（Pearson’s r=0.99999904），适用于挠度达20倍板厚（传统模型仅限5倍）。
主要结果
应力场特征：
- 板边缘附近存在高强度拉应力（峰值1.68 MPa）与压应力，可能引发局部屈曲或断裂，此为以往研究未充分关注的失效机制。
- 剪切应力呈反对称分布，最大值位于板对角线附近。
无量纲普适公式：
- 应力与挠度的无量纲化表达式（如$\sigma_x a^2(1-\nu^2)/E h^2$ vs. $q a^4/E h^4$）可推广至不同材料与尺寸的薄板设计。
ASF的解析突破：
- 首次给出ASF的闭合形式解（式28），为后续非线性板理论提供新工具。
结论与价值
科学意义：
- 填补了大挠度薄板理论中膜应力与ASF显式表达的空白，推动了冯·卡门方程的实际应用。
- 提出的高精度傅里叶级数方法为复杂力学场重构提供了新范式。
工程价值：
- 无量纲公式可直接用于航空航天、建筑等领域的薄板设计，避免重复FEA计算。
- 边缘应力预警为结构安全评估提供了新依据。
研究亮点
- 创新性方法：结合高保真FEA与傅里叶级数解析，实现了全场力学变量的高精度重构。
- 颠覆性发现：揭示了大挠度下边缘应力的潜在危害，挑战了传统设计假设。
- 普适性成果：无量纲模型突破了材料与尺寸限制，具有广泛的工程适用性。
其他价值
- 附带的Excel计算工具（公开系数）可快速生成应力/挠度分布，显著提升设计效率。
- 对冯·卡门方程第一方程的偏差提示了未来需进一步研究载荷耦合效应或高阶噪声抑制方法。