本文档发表于《石油地球物理勘探》期刊，出版日期为2020年8月（第55卷第4期）。本研究由多位研究者合作完成，主要作者包括周印明（中南大学地球科学与信息物理学院；中国石油集团东方地球物理公司综合物化探处）、戴世坤（中南大学地球科学与信息物理学院；中南大学有色金属成矿预测与地质环境监测教育部重点实验室）、李昆、何展翔（南方科技大学前沿与交叉科学研究院）、胡晓颖、王金海（青海省第三地质勘查院）。通讯作者单位位于中南大学地球科学与信息物理学院。研究受到了国家重点研发计划项目、国家自然科学基金项目以及青海省地矿局地勘基金项目的联合资助。论文的标题为《基于样条插值的fft及其在重磁场正演中的应用》。
本文属于一个原始研究报告。研究主要针对地球物理勘探领域中的位场（重、磁场）正演数值模拟问题。其核心学术背景在于，快速傅里叶变换（FFT）是地球物理数据处理与正演模拟中的关键算法，特别是在频率域或波数域方法中。然而，传统FFT方法在数据处理和变换过程中，因离散化采样会导致频谱混淆、边界截断效应等问题，影响正演模拟的精度。为了解决这些弊端，特别是提高对连续介质模型（物性参数随空间连续变化）正演模拟的精度和效率，前人发展了一些改进方法，例如基于高斯积分的FFT方法。虽然高斯FFT能在一定程度上削弱截断效应，但其计算量通常较大，效率有待提升。因此，本研究旨在提出一种新的、兼顾精度与效率的快速傅里叶变换算法，并将其应用于重力场和磁场的三维正演模拟中，以期获得更准确、更高效的正演结果。
研究的详细工作流程主要包括理论方法构建、算法正确性验证、以及模型和实际数据应用三个主要部分，层层递进。
第一部分：理论方法构建。 这是本研究的技术核心。研究者提出了一种“基于样条插值的快速傅里叶变换（Spline-FFT）”新算法。该工作的详细流程如下： 1. 问题离散化： 首先将连续函数的傅里叶变换积分分解为多个小单元积分的和。 2. 单元内函数表征： 在每个离散单元内部，研究团队没有采用传统的分段常数或低阶多项式逼近，而是创新性地采用三次样条函数来逼近和表征待变换函数的变化。三次样条具有良好的光滑性和高阶连续性，能更精确地刻画函数在单元内的细节。 3. 单元积分的解析计算： 将三次样条表达式（一个关于坐标偏移量m’的三次多项式）代入傅里叶变换的积分核函数中。研究的关键在于，对于这种“多项式乘以复指数”形式的积分，可以在每个单元上推导出解析的积分表达式。论文中详细给出了单元积分I_e的解析公式，它由系数a_i, b_i, c_i, d_i与几个基本积分I1, I2, I3, I4（分别对应m’^0, m’^1, m’^2, m’^3与指数函数乘积的积分）的线性组合构成。这些基本积分均有闭合形式的解。对于波数k=0的特殊情况，公式可进一步简化为普通多项式积分。这意味着，整个变换过程不再是纯粹的数值积分求和，而是基于解析公式的精确计算，从而从理论上保证了高精度。 4. 扩展到二维： 对于二维傅里叶变换，研究采用了逐维（先x方向后y方向）进行一维Spline-FFT的策略来实现。 该方法的两个显著特点是：采样灵活性——可以根据函数频谱变化趋势灵活选择非均匀采样间隔，以平衡精度与效率；高精度与高效率——单元积分可解析计算，避免了传统数值积分的大量运算，同时利用样条的高阶逼近能力减少了因离散化带来的误差。
第二部分：算法正确性验证。 在提出新方法后，必须验证其数学上的正确性和计算精度。该部分的研究对象是已知其傅里叶变换解析解的标准测试函数——高斯函数。研究流程如下： 1. 设计实验： 设定一维和二维高斯函数，并明确其傅里叶变换的解析表达式作为标准答案。 2. 执行变换： 使用本文提出的Spline-FFT方法，对设定区间内离散采样得到的高斯函数数据进行傅里叶正变换和反变换，得到数值解。 3. 精度评估： 将Spline-FFT得到的数值解与理论解析解进行对比。采用相对均方根误差（RRMS） 作为定量评价指标。 4. 结果分析： 一维正、反变换的RRMS分别约为4.5×10^-6和4.2×10^-7；二维正、反变换的RRMS分别约为6.0×10^-6和1.4×10^-5。这些极小的误差值表明，数值解与解析解高度吻合，从而从数学上严格验证了Spline-FFT算法的理论正确性和极高的计算精度。
第三部分：在重磁场三维数值模拟中的应用。 验证算法基础正确性后，研究进入地球物理应用阶段，目标是测试Spline-FFT在解决实际地球物理问题（重磁场正演）中的性能。该部分包含对连续介质模型的理论测试和对实际数据的应用。 流程一：连续介质模型测试。 该步骤旨在将Spline-FFT与现有的高性能算法（高斯FFT）进行对比，评估其在地球物理正演中的精度和效率。 1. 设计模型： 设计了两个三维连续介质模型。一个是重力模型，其剩余密度在水平方向上呈高斯函数连续变化；另一个是磁法模型，其磁化率在水平方向上也呈高斯函数连续变化。模型空间被规则网格剖分。 2. 设定对照： 将使用4点高斯积分的高斯FFT方法（ng=4）的计算结果作为“准解析解”或高精度参考基准。因为对于连续介质，高斯FFT本身具有较高精度。 3. 执行计算： 将Spline-FFT算法嵌入到“空间波数混合域三维数值模拟方法”框架中，分别计算两个模型产生的重力异常场、磁场及其梯度张量。研究中系统地改变了Spline-FFT算法中的关键参数——波数采样点数k，观察其影响。 4. 对比分析（结果与逻辑）： * 精度分析： 绘制了不同k值下，Spline-FFT计算结果相对于高斯FFT结果的相对均方根误差曲线。结果显示，对于重力场，当波数k增加到71时，重力异常场及其梯度张量的计算精度已与高斯FFT非常接近；对于磁场，当k=101时，精度与高斯FFT接近。误差曲线表明，在一定范围内，增大k（即增加采样/计算量）可以提高精度，但当精度接近高斯FFT基准后，提升趋势变缓。 * 效率分析： 记录了不同k值下Spline-FFT与高斯FFT的计算耗时。关键数据结果显示：在达到相近精度（重力k=71，磁法k=101）时，Spline-FFT的计算时间分别为0.74秒和1.52秒，而对应的高斯FFT耗时分别为4.85秒和6.77秒。即Spline-FFT的计算效率约为高斯FFT的4到6倍。论文指出，因为4点高斯FFT相当于每个单元要进行4次函数计算，而Spline-FFT只需计算一次单元积分，因此效率优势明显。 * 误差分布： 论文给出了在最优k值（重力71，磁法101）下，Spline-FFT计算得到的三维异常场及各个梯度张量分量的数值解图，并给出了其与高斯FFT结果之差的绝对误差分布图。结果显示，重力异常的绝对误差最大约0.05 mGal，重力梯度张量误差最大约0.06 E；磁异常误差最大约0.05 nT，磁梯度张量误差最大约2e-5 nT/m。这些误差均比异常信号本身小2-3个数量级，直观地证明了Spline-FFT在正演应用中的高精度。
流程二：实际数据应用。 为了进一步证明方法的实用性，研究选取了安徽省部分地区的数字高程数据（DEM）作为输入。流程如下： 1. 数据准备： 从“地理空间数据云”平台下载指定经纬度范围的DEM数据。 2. 地质假设： 将地形起伏视为密度界面，假设地下为水平层状介质，将高程数据转化为密度分布模型。 3. 正演计算： 使用基于Spline-FFT的空间波数混合域方法计算该模型引起的重力异常场。 4. 结果解释： 计算得到的重力异常图显示，重力高值区与地形起伏大的丘陵、岗地区域在空间上吻合得很好。这一结果符合“地形起伏引起布格重力异常变化”的基本地球物理原理，从而证明了Spline-FFT方法处理实际地质模型、获得合理地质结果的可靠性和适应性。
基于上述工作，本研究得出的主要结论如下： 1. 成功提出了一种基于三次样条插值的快速傅里叶变换（Spline-FFT）新算法。该方法结合了样条插值的高阶连续性、采样灵活性的优点，并通过单元积分的解析计算，实现了高效、高精度的傅里叶变换。 2. 通过高斯函数变换的数值与解析解对比，验证了一维和二维Spline-FFT算法的数学正确性。 3. 将Spline-FFT应用于连续介质重磁场三维正演模拟中，模型试验表明，该方法有效降低了传统FFT的截断效应影响。在达到与高斯FFT相近计算精度的前提下，计算效率显著更高（对于测试模型，计算时间约为高斯FFT的1/6至1/4）。 4. 对实际地形数据的应用结果表明，该方法具有实用性和有效性，能够用于处理实际地球物理问题。
本研究的价值体现在科学价值和应用价值两个方面。科学价值在于为振荡函数积分（傅里叶变换是其特例）的数值计算提供了一种新的、具有解析基础的精确高效算法思路，丰富了计算地球物理学和数值分析的方法库。应用价值则直接面向地球物理勘探，为重磁数据处理和正反演解释提供了更强有力的工具。高精度、高效率的正演算法是提高反演分辨率、实现复杂地质目标精细探测的关键基础。
本研究的亮点和创新点突出体现在以下几个方面： 1. 方法创新： 首次将三次样条插值与FFT核心算法深度融合，通过单元解析积分路径，创造性地提出了Spline-FFT算法。这不同于传统的纯数值迭代或低阶逼近的FFT改进方案。 2. 性能优越： 在保证高计算精度的同时，显著提升了计算效率，解决了高斯FFT等方法精度与效率难以兼顾的问题。 3. 应用导向明确： 整个研究从理论推导、数学验证到地球物理模型测试、实际数据应用，形成完整闭环，充分证明了新方法在地球物理领域的实用性和优越性。 4. 研究系统深入： 不仅验证了算法基础，还深入分析了关键参数（波数k）对精度和效率的影响规律，并进行了重力场、磁场及其全梯度张量的全面测试，评估维度全面。
此外，论文在引言部分对FFT及各类改进算法（如非均匀采样DFT、Filon型方法、高斯积分FFT等）的发展进行了简要但清晰的综述，体现了作者对领域发展脉络的把握，也为本研究的创新定位提供了充分的学术背景支撑。参考文献部分引用了大量相关的重要文献，显示了研究的扎实基础。