这篇题为《Temporal super-resolution prediction of wave field for trimaran with arbitrary layout based on dynamic mode decomposition-α method》的研究论文于2025年4月21日发表在期刊《Physics of Fluids》上，论文编号为37, 043124。该研究由中国哈尔滨工程大学数学科学学院海洋流体动力学智能优化实验室的刘鑫旺、孙旭、荣梓彤、王璐瑶和马海涛共同完成，通讯作者为刘鑫旺。
本研究的学术背景属于计算流体动力学和船舶水动力学的交叉领域，专注于流场高分辨率预测与重构的前沿技术。在海洋工程和航空航天领域，通过计算流体动力学方法求解纳维-斯托克斯方程进行高保真度流场模拟是分析复杂流动现象的关键手段。然而，为了获得高时空分辨率的流场结果，即便采用雷诺平均纳维-斯托克斯方程方法也需要极高的计算成本。因此，探索更简单高效的方法来生成高保真流场数据成为一个活跃的研究方向。流场超分辨率技术可以通过将低分辨率CFD数据转化为高分辨率结果，显著降低计算成本和时间。数据驱动的方法，特别是降阶模型，因能在保证精度的前提下快速捕捉和重构流场信息而展现出巨大潜力。其中，本征正交分解和动态模态分解是两种常用且具有物理意义的稳定方法。尽管基于深度学习的超分辨率方法（如CNN、扩散模型）在从低分辨率输入生成高分辨率流场信息方面表现出色，但其训练过程往往存在相对误差水平的随机性，模型稳定性和可重复性面临挑战，且通常需要大量数据样本和训练时间，成本高昂。因此，为了获得一种稳定、高效且能实现任意时间点高保真流场预测的时域超分辨率方法，本研究提出了结合DMD思想和Schur-Padé矩阵实数幂求解算法的DMD-α方法。
本研究详细的工作流程如下：
1. 方法论构建与理论框架： 本研究的工作流程核心围绕提出的DMD-α方法展开。首先，基于传统的动态模态分解思想，对于特定船型在周期性运动中产生的一系列流场快照，假设相邻时刻的流场数据向量间存在近似的线性变换关系。通过构建前一时刻与后一时刻的快照矩阵，可以求解出一个描述流场演化的传递矩阵。利用该矩阵的整数次幂，可以重构出已知典型时刻的流场。然而，传统的DMD方法仅能处理整数时间步长，无法实现任意时间点的连续预测。为此，本研究引入了用于计算矩阵实数幂的Schur-Padé数值方法。该方法首先对传递矩阵进行Schur分解，将其转化为上三角矩阵以降低计算复杂度。然后，通过迭代计算矩阵的平方根，并利用Padé近似公式来逼近所需实数幂的矩阵函数。为了进一步提高精度，还对近似结果的主对角线和第一超对角线元素进行了显式公式修正。最终，将修正后的结果通过Schur分解的酉矩阵还原，即可得到传递矩阵的任意实数次幂。这样，便将预测能力从离散的典型时刻扩展到了连续的任意时刻，形成了DMD-α方法。
2. 研究对象与数值案例设置： 本研究以一艘在规则波中航行的三体船（Trimaran）作为具体研究对象，以验证DMD-α方法的有效性。三体船的主体和侧体均为Wigley船型。研究首先对母型船进行了网格无关性验证，确保后续CFD计算结果的可靠性。为研究不同侧体布局对周围流场的影响并降低计算成本，研究采用了最优拉丁超立方采样方法，在设计空间内选取了60组不同的侧体布局参数，生成了60艘不同布局的三体船样本。这些样本船构成了后续构建预测模型的数据基础。研究设定的物理工况为：弗劳德数0.3，遭遇波浪周期0.9秒。
3. 基于样本数据库的时域超分辨率预测验证： 首先，针对数据库中已有的一个特定侧体布局样本，研究探讨了在DMD框架下，选取不同时间步长对已知典型时刻流场重构精度的影响。结果发现，仅使用传递矩阵整数幂进行重构时，虽然误差都很小，但总体上时间步长越小，重构误差也越小。接着，基于DMD-α方法，研究进一步探讨了不同时间步长对未知时刻流场预测误差的影响。结果表明，时间步长过小虽然能提高预测精度，但会显著增加数据存储和计算负担；时间步长过大则会导致预测误差迅速增加。为了平衡预测精度和计算成本，研究提出了一个综合考虑预测误差和存储/计算资源消耗的量化指标，并基于该指标确定了用于后续预测的较优时间步长为0.1秒。
4. 任意布局三体船流场的全流程预测方法： 为了实现任意侧体布局三体船在任意时刻的波场超分辨率预测，研究整合了本征正交分解、Kriging代理模型和DMD-α方法，形成了一个完整的预测工作流。该工作流包含以下关键步骤： a. 初始时刻流场预测： 首先，利用POD方法对60个样本船在初始时刻的波场数据进行分析，提取出能够表征流场主要特征的本征正交基模态。通过能量截断准则（如累计能量占比超过95%），选取前21个主要模态。然后，在侧体布局参数与这些POD模态的系数之间建立Kriging代理模型。对于一个新的任意布局，通过Kriging模型预测出其对应的POD系数，再与POD基模态线性组合，即可高精度地预测出该新布局在初始时刻的流场。 b. 传递矩阵高效获取： 为降低计算复杂度，研究提出了一种仅利用前两个时刻流场快照求解传递矩阵的高效方法，并与传统方法进行了对比验证。结果表明，新方法在保证足够小误差（各典型时刻平均相对能量误差小于1%）的前提下，大幅减少了所需数据量和计算时间，特别适合于流场信息维度较大的情况。 c. 任意时刻流场预测： 在获得新布局的初始时刻流场和对应的传递矩阵后，即可应用DMD-α方法，通过计算传递矩阵的实数次幂，对该新布局在未来一个遭遇周期内任意时刻（例如以0.01秒为间隔）的波场进行时域超分辨率预测。
5. 结果验证与分析： 研究选取了一个新的侧体布局作为测试案例，验证了上述完整预测流程的准确性。通过将DMD-α方法的预测结果与对该新布局进行完整CFD模拟得到的结果进行对比，发现整体预测误差较小。在分析整个周期内80个预测时间点的总能量误差时，除了极初始的几个新时间点（特别是第一个新时间点）误差相对较大外，其余时刻的预测误差均保持在较低水平。研究表明，初始时刻之后第一个新时间点的误差主要体现在网格节点的x和y坐标预测上，但随着时间迭代，这些方向的误差迅速减小。总体而言，与流场包含的总能量相比，预测误差足够小（整体相对误差小于1%）。这充分证明了所提出的时域超分辨率方法DMD-α在三体船于规则波中周期性波场预测中的可行性和有效性。论文还给出了新布局在多个典型新时间点的预测波场图像，直观展示了预测结果与CFD结果的高度一致性。
本研究得出的主要结论如下： 1. 提出的DMD-α方法成功地将Schur-Padé算法集成到传统的DMD思想中，实现了传递矩阵实数幂的计算，进而实现了周期性流场的时域超分辨率预测。 2. 针对现有样本数据库，探讨了DMD-α方法中时间步长的选择策略。提出了一种综合考虑预测精度和计算成本的综合评价指标，为实际工程应用提供了参数选择的实用方案。 3. 通过将DMD-α方法与POD和Kriging模型相结合，成功实现了对任意侧体布局三体船波场的准确预测。验证结果表明，该方法预测精度高，整体相对误差小于1%，证明了其在复杂流场预测中的有效性和鲁棒性。
本研究的意义与价值体现在： 科学价值方面，提出了一种不依赖于大规模数据训练、具有明确数学物理基础且稳定的时域超分辨率预测新范式，为流场重构与预测研究提供了新的思路和方法工具。它避免了深度学习方法的随机性和高成本，增强了模型的可解释性和可靠性。 应用价值方面，该方法不仅适用于规则波中三体船的波场预测，还可推广至具有周期性运动的各类结构的流场时域超分辨率预测，如船舶操纵与耐波运动、风力或水力涡轮机、运动翼型等。结合POD和代理模型，该方法可进一步应用于海洋结构物水动力性能优化设计领域，通过快速预测不同设计方案的流场响应，大幅提高优化设计的效率。
本研究的亮点在于： 1. 方法创新性： 创造性地将计算矩阵实数幂的Schur-Padé数值方法引入流场预测领域，与DMD思想结合，形成了原创性的DMD-α方法，实现了从离散时间点到连续时间预测的关键突破。 2. 流程系统性： 构建了一个从任意布局初始流场预测（POD-Kriging）到任意时刻流场演化预测（DMD-α）的完整、系统的工作流程，为解决一类复杂的工程预测问题提供了端到端的解决方案。 3. 工程实用性： 不仅关注算法的预测精度，还深入探讨了时间步长等关键参数的选择策略，提出了平衡精度与成本的量化指标，并设计了高效获取传递矩阵的方法，充分考虑了实际工程应用中对计算效率和资源消耗的需求。 4. 验证充分性： 研究通过详尽的数值实验，从参数敏感性分析、不同方法对比、新布局预测验证等多个维度，全面评估了所提方法的性能和可靠性，结论坚实可信。