这篇文档是一篇发表于Quantum期刊2020年5月27日的学术研究论文。作者包括来自英国思克莱德大学和Cambridge Quantum Computing Ltd的Ross Duncan，牛津大学的Aleks Kissinger，法国洛林大学/法国国家科学研究中心/INRIA的Simon Perdrix，以及荷兰内梅亨大学的John van de Wetering。该研究提出了一种基于ZX微积分（ZX-calculus）的全新量子电路优化方法。
本研究的核心学术背景是量子计算中的电路优化领域。量子电路是描述量子计算的“汇编语言”，由称为量子门的简单酉线性映射组合而成。量子电路优化旨在将一个给定的量子计算转化为使用更少或更简单门的新电路。传统方法主要基于门替换、针对特殊电路族的（伪）正规形式计算、相位多项式优化或其组合。然而，该领域仍处于相对不成熟的发展阶段，需要更强大、更理论化的新框架。ZX微积分是一种用于描述量子过程的形式化图形语言，由Bob Coecke和Ross Duncan等人发展而来。它通过“蜘蛛”和“线”构成的图表（ZX-diagrams）来表示量子态和操作，并拥有一套丰富的等式规则，被证明对克利福德（Clifford）电路是完备的。近年来，其完备性已扩展到更广泛的量子电路族。本研究旨在利用ZX微积分提供的灵活性和强大等式理论，建立一个全新的、基于图论的量子电路优化基础。
研究的详细工作流程如下。首先，将任何量子电路转换为一种称为“类图ZX-图表”（graph-like ZX-diagram）的特殊形式。这个过程（由引理3.2详细描述）涉及应用ZX微积分的规则，例如将红色蜘蛛（X蜘蛛）转为绿色蜘蛛（Z蜘蛛）并添加哈达玛门（Hadamard gate），融合相邻蜘蛛，以及移除平行边和自环，最终确保所有蜘蛛均为绿色Z蜘蛛，它们之间仅通过哈达玛边连接，每个输入或输出最多连接一个蜘蛛，且没有平行边或自环。这种转换是通用的，它为电路建立了一个更具可塑性的图形表示。
其次，在获得类图ZX图表后，研究引入了一种基于图论变换的简化策略。其核心是两项关键的图表重写操作，分别对应于两种图变换：“局部补”（local complementation）和“轴旋转”（pivoting）。局部补操作可以删除单个内部“恰当克利福德蜘蛛”（proper Clifford spider，即相位为π/2奇数倍的蜘蛛），如引理5.2的规则（7）所示。轴旋转操作可以删除一对相邻的“泡利蜘蛛”（Pauli spider，相位为π的整数倍），如引理5.3的规则（8）所示。此外，通过一个预处理步骤（9），可以将与边界蜘蛛相邻的内部泡利蜘蛛转化为一对可被轴旋转删除的蜘蛛。研究证明（定理5.4），通过迭代应用这些规则，可以消除所有内部的恰当克利福德蜘蛛、所有相邻的内部泡利蜘蛛对以及所有与边界相邻的内部泡利蜘蛛。对于仅包含克利福德相位的电路（即克利福德电路），此过程将完全消除所有内部蜘蛛，得到一个“带局部克利福德修正的图态”（graph-state with local cliffords, GS-LC）伪正规形式。对于包含非克利福德门（如T门）的电路，简化后图表将只保留源自非克利福德相位门及其最近邻的蜘蛛骨架，通常比原始电路小得多。
第三，也是至关重要的一步，是从简化后的ZX图表中重新提取出量子电路。由于ZX图表的表示比电路更灵活，并非所有ZX图表都能高效地转换回电路。为了解决这个提取问题，本研究依赖于一个称为“聚焦广义流”（focused gflow）的图论不变量。聚焦广义流是测量基量子计算（MBQC）中的一个概念，它为一类图（开放图）提供了一个确定性的计算流。本研究证明（引理3.7），从任何量子电路转换而来的类图ZX图表，其底层开放图都允许一个聚焦广义流。更重要的是，定理4.5证明了前述的局部补和轴旋转变换在删除操作顶点后，依然保持底层图的聚焦广义流性质。因此，通过简化过程得到的图表，即使结构被大幅改变，其底层图仍然保有聚焦广义流。这使得研究者能够开发出一个高效的确定性电路提取算法（第7节详述）。该算法从一个只包含输出蜘蛛的“前沿”（frontier）开始，自右向左推进，利用高斯消元法（表现为CNOT门的应用）和聚焦广义流提供的保证，一步步将内部的蜘蛛“吸收”到前沿并转化为电路门序列（包括单量子位相位门、CZ门、CNOT门和哈达玛门），直到前沿推进到输入位置，最终得到一个完整的量子电路。整个过程可以完全自动化，并在开源工具PyZX中实现。
研究的主要结果在各个步骤中均有体现。1. 理论框架建立：成功将量子电路优化问题转化为基于ZX微积分的图表简化与提取问题，为领域提供了一个全新的理论基础（“schematically: quantum circuits -> zx-diagrams -> simplification -> circuit extraction”）。2. 克利福德电路优化：对于克利福德电路，简化后得到的GS-LC伪正规形式是图论上的一个简洁表示。研究展示了如何从此形式提取电路，并得到一个由8层门构成的新正规形式（12）：H + S + CZ + CNOT + H + CZ + S + H。该形式在门数量上是渐近最优的（2n^2+o(n)个自由度），并且在最近邻架构上，其双量子位门深度（9n-2）优于当时已知的最佳结果（14n-4）。3. 非克利福德电路优化：对于克利福德+T等更一般的电路，该方法能够“看透”那些阻碍克利福德结构的门，产生比简单地“切割-重合成”（cut-and-resynthesise）克利福德子电路更小的电路。文中通过一个含195个门（其中4个T门）的随机电路示例（10）进行了演示。简化后得到一个仅含12个蜘蛛的骨架，经提取和后续处理后，最终电路减少到41个门，显著降低了门数量。4. 实证性能：研究通过实验（图3）比较了不同优化方法。在随机生成的8量子位Clifford+T电路（T门比例pt变化）上，完整的“PyZX”方法（即本研究的优化-提取流程）在pt较低时表现优异，并且在所有pt取值下都优于“朴素”方法（仅优化纯克利福德子电路），证明了其利用全局、非局部结构进行优化的能力。
本研究的主要结论是成功开发并理论验证了一种基于ZX微积分和图论（局部补、轴旋转、聚焦广义流）的全新、强大的量子电路优化框架。该框架不仅能高效地优化克利福德电路，获得具有优异理论性质的电路正规形式，还能有效地处理包含非克利福德门的通用电路，相比传统方法能发现更多的简化机会。其科学价值在于为量子电路优化建立了一个坚实、可扩展的理论基础，连接了ZX微积分、图论（图变换、广义流）和量子电路综合等多个领域。其应用价值体现在能直接用于减少真实量子电路的规模和深度，特别是在近期含噪中等规模量子（NISQ）设备上，减少门数和深度对于降低错误率至关重要。文中提到，基于此框架的无辅助量子位T门数量（T-count）削减技术已在后续工作中提出，并在基准测试中超越了当时的先进水平。
本研究的亮点包括：1. 方法新颖性：首次将局部补和轴旋转这两个图论变换系统地应用于量子电路优化，并通过ZX微积分为其提供了严格的语义。2. 理论深度：巧妙地利用并证明了“聚焦广义流”这一不变量在简化过程中的保持性，从而解决了从灵活ZX图表中提取电路的这一关键难题。3. 结果全面性：不仅提供了针对克利福德电路的渐进最优理论结果，也展示了处理一般电路的通用能力和实证优势。4. 工具实用性：研究配套的Python库PyZX使得该理论能够被广泛用于实际电路的优化。其他有价值的内容包括附录中提供的完整示例推导（Appendix A）和详细的证明（Appendix B），这些增强了研究的可复现性和理论严谨性。研究还展望了未来方向，如开发更多简化规则、处理受限量子位拓扑结构的电路提取、以及利用辅助量子位和经典控制进行更通用的提取，指明了该框架广阔的扩展潜力。