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基于任意六面体网格的谱元法在时域三维航空电磁正演模拟中的应用
作者及机构
本研究由Xin Huang、Changchun Yin（吉林大学地球探测科学与技术学院）、Colin G. Farquharson（纽芬兰纪念大学地球科学系）、Xiaoyue Cao、Bo Zhang（吉林大学）、Wei Huang（中国地质科学院地球物理地球化学勘查研究所）、Jing Cai（吉林大学）共同完成，发表于期刊《Geophysics》2019年10月刊。
学术背景
研究领域与动机
本研究属于地球物理电磁法（electrical and electromagnetic methods）领域，聚焦时域三维航空电磁（time-domain 3D airborne EM, AEM）正演模拟。传统方法如有限差分法（FDTD）和有限元法（FETD）虽成熟，但存在局限性：
1. 复杂地质结构建模困难：需依赖高质量网格划分；
2. 计算效率低：为保障精度需细化网格，尤其在高导电异常体或发射源附近。
本研究提出谱元法（spectral-element method, SEM）结合后向欧拉（backward Euler, BE）时间离散的混合算法（SETD），旨在提升复杂结构建模的灵活性和计算效率。
目标
- 开发一种能适应任意六面体网格的SETD算法；
- 通过混合阶谱元法抑制虚假解，结合Gauss-Lobatto-Legendre（GLL）积分降低矩阵复杂度；
- 验证算法在层状模型和复杂几何体（如球体、倾斜块体）中的精度与效率。
研究方法与流程
1. 理论框架
- 控制方程：基于麦克斯韦方程组，分离一次场（primary field）与二次场（secondary field），仅求解二次场以减少发射源附近的网格细化需求。
- 边界条件：采用Dirichlet边界条件（无穷远处场衰减至零）。
2. 空间离散：谱元法（SEM）
- 网格划分：使用规则或变形六面体单元拟合复杂界面（如球体边界）。
- 基函数：基于GLL多项式构建混合阶矢量基函数（如式7），避免虚假解。
- 数值积分：采用降阶GLL积分技术生成块对角质量矩阵，减少非零元素数量。
3. 时间离散：后向欧拉（BE）
- 无条件稳定：允许大时间步长，尤其适用于晚期信号模拟。
- 递推求解：通过初始条件（式22）和递推公式（式23-25）分步计算电场响应。
4. 验证与对比实验
- 层状模型验证：对比半解析解，相对误差%（图3-4）。
- 复杂模型测试：
- 水平块体：对比有限元法（FETD），SETD在40 m×40 m×20 m粗网格下精度相当（图6）。
- 倾斜块体：变形网格成功捕捉非对称响应（图8）。
- 球体模型：与Lee（1983）解析解吻合（图10），验证算法普适性。
5. 计算优化
- 直接求解器（PARDISO）：并行处理多源数据，提升效率。
- 矩阵生成加速：正交六面体中Jacobi矩阵为常数，简化积分计算（式20）。
主要结果
精度验证：
- 层状模型中，四类策略（表1）均实现高精度，其中4阶SEM+40 m网格最优（图4b）。
- 球体模型响应与解析解误差%（图10），证明变形网格的有效性。
效率优势：
- SETD在粗网格下（如80 m×80 m×40 m）通过高阶多项式（6阶）保持精度，显著减少未知数（298,506 vs. FETD的细网格）。
- 矩阵生成时间仅16.8秒，总求解时间252秒（表1）。
复杂结构适应性：
- 倾斜块体模型（图7）中，SETD准确反映异常体倾角对响应不对称性的影响（图8）。
结论与意义
科学价值：
- 提出首个适用于大尺度、长时程AEM问题的SETD算法，填补了传统SEM在短时程、小空间尺度应用的局限。
- 混合阶SEM与BE的结合为电磁正演提供了高精度、低计算成本的新范式。
应用价值：
- 支持矿产、油气、地下水勘探中复杂地质体的高效建模。
- 变形网格技术可推广至其他地球物理正演问题（如海洋电磁、可控源电磁）。
局限性：当前仅验证了阶跃关断波形，未来需扩展至任意发射波形。
研究亮点
方法创新：
- 首次将SEM应用于AEM领域，结合GLL积分与BE时间离散，突破传统FDTD/FETD的网格限制。
- 变形六面体网格实现复杂几何的灵活拟合，无需局部加密。
效率突破：通过块对角矩阵和直接求解器，显著提升多源问题计算速度。
跨学科融合：借鉴微波器件仿真中的SEM技术，拓展至地球物理大尺度建模。
其他价值
- 开源潜力：算法框架可集成至现有地球物理软件（如ModEM、EM3D）。
- 实验数据公开：层状模型与球体模型响应数据可供同行验证。
（报告完）