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本文的主要作者为Nigel Wood、Andrew Staniforth、Andy White、Thomas Allen、Michail Diamantakis、Markus Gross、Thomas Melvin、Chris Smith、Simon Vosper、Mohamed Zerroukat以及John Thuburn。其中，Nigel Wood、Andrew Staniforth、Andy White等大多数作者来自英国气象局（Met Office, Exeter, UK），John Thuburn来自英国埃克塞特大学（University of Exeter, UK），Michail Diamantakis的当前地址为欧洲中期天气预报中心（ECMWF, Reading, UK）。该研究发表于《Quarterly Journal of the Royal Meteorological Society》第140卷，2014年7月，页码为1505至1520，文献编号DOI为10.1002/qj.2235。
该研究属于数值天气预报与大气动力模式数值方法领域。半隐式半拉格朗日（semi-implicit semi-Lagrangian, SISL）方法自Robert于1981年和1982年提出以来，已经广泛应用于业务数值天气预报中。该方法允许使用远大于传统显式方法的时间步长，同时不显著牺牲精度，显著提升了预报效率。然而，SISL方法的一个固有缺陷是，在计算离开点（departure point）处的物理量时，通常需要进行插值，而标准插值过程无法保证被输运物理量的质量守恒。近年来，随着SISL模式越来越多地用于长期气候模拟，干空气质量、水物质和化学物种等成分的守恒性变得愈发重要。已有研究提出了多种基于保守重映（conservative remapping）思想的半拉格朗日输运方案，但这些方案若要真正实现模式整体质量守恒，必须与半隐式时间积分过程耦合。此前，Lauritzen等人和Kaas分别在有限区域模式和笛卡尔浅水模式中提出了耦合方法，而Zerroukat等人在全球浅水方程中以及Melvin等人在笛卡尔垂直切片模式中提出了另一类“固有质量守恒”（inherently mass-conserving）的SISL离散方案。本文正是在这一系列工作基础上，将该方法扩展到三维深层大气（deep-atmosphere）全球非静力（non-hydrostatic）欧拉方程，从而向业务天气与气候预测模式中实现该方案迈出关键一步。
该研究的核心目标是构建一个在离散层面自然满足质量守恒的三维全球非静力SISL动力学框架，同时保持与标准非守恒SISL模式相同的基本结构。为此，作者系统地从连续控制方程出发，经过时间离散、空间离散和迭代求解等多个步骤完成了模式构建。首先，控制方程采用矢量形式给出，包括动量方程、热力学方程、连续性方程和状态方程。连续性方程采用积分形式，即物质体积元内质量守恒的形式，而非传统的微分形式，这为后续基于保守重映的离散化奠定了基础。其次，作者引入了地形势（geopotential）正交曲线坐标系，并进一步变换到地形跟随（terrain-following）垂直坐标η。该坐标变换保持了速度分量在地形势坐标系中的原始形式，同时引入了η̇作为垂直坐标的拉格朗日变化率。时间离散采用两时间层SISL格式，对动量方程、热力学方程和连续性方程沿轨迹积分，利用梯形规则近似右端积分项，并引入离中心参数α和β。对于动量方程中的矢量场在离开点与到达点基矢不一致的问题，作者采用了旋转矩阵M进行坐标变换，矩阵元素根据球面深层大气或浅层大气近似给出。运动学方程（即轨迹方程）的离散则区分了笛卡尔情形和球面情形：笛卡尔情形采用Melvin等人方法的自然三维推广，球面情形采用Thuburn和White提出的深层大气扩展方法，以避免球面几何下的数值不稳定。空间离散方面，模式采用Arakawa C网格进行水平离散，垂直方向采用Charney–Phillips网格，即u、v、w、θ、ρ、π等变量存储在交错位置上。科里奥利项按Thuburn和Staniforth的建议进行了能量守恒形式的平均处理，以改善罗斯贝波的频散特性。压力梯度项和状态方程的离散形式也遵循Thuburn关于最优频散特性的建议。边界条件方面，模式底部和顶部采用刚性自由滑移边界，垂直质量通量为零；极区处理采用McDonald和Bates的方法计算极点的v分量和动量方程右端项。
求解过程采用嵌套迭代策略。外层循环负责求解离开点位置并插值所需物理量，内层循环则求解一个线性亥姆霍兹（Helmholtz）方程。该亥姆霍兹方程通过对离散方程组的代数消元得到，未知量是Exner气压扰动π′。求解方法基于Thuburn等人提出的“无参考状态”（reference-state-free）方案，即在方程两侧同时加入适当的线性项，并将右端项在迭代中滞后处理。在迭代收敛时，这些附加线性项相互抵消，结果不依赖于参考廓线的选取。参考廓线取为上一时间步的热力学状态，并对位温廓线进行气泡排序以确保静力稳定。松弛参数τ可独立于离中心参数α进行调节以优化收敛速度。亥姆霍兹方程采用预处理双共轭梯度稳定化方法（Bi-CGSTAB）求解。
研究中开展了三类标准测试以验证模式性能：小地球上Schär型山脉地形波动、小地球上非地形重力波、以及深层大气斜压不稳定试验。小地球框架通过缩小地球半径并增大旋转速率来以较低计算成本模拟非静力效应。山脉波动试验包括无切变和带垂直切变两种情形，模式均能合理再现非静力波动向下游倾斜传播的特征，且质量守恒方案与标准SISL方案之间的差异很小。非地形重力波试验中，模式成功模拟了初始位温扰动激发的重力波传播，数值相速度与解析相速度吻合良好。深层大气斜压不稳定试验采用了Ullrich等人提出的可切换浅层/深层大气配置，在非缩放地球和缩放因子为20的小地球上分别运行。深层大气小地球试验中，气压系统发展更快、更强，显示了深层大气效应在较大相对大气厚度条件下的重要性。在所有试验中，质量守恒方案与标准SISL方案的差异均较小，但在斜压波破碎阶段差异有所增大。质量守恒方案在积分10天后保持了机器精度量级的全球大气总质量守恒（相对误差约10⁻¹⁴），而标准SISL方案的相对质量误差约为10⁻⁵。
该研究的结论是，基于SLICE保守重映算法的三维全球非静力深层大气SISL离散方案能够实现固有质量守恒，同时与标准SISL方案在多种测试中保持一致的动力行为。该方案的一个重要特征是参考状态项的引入不影响离散格式的最终精度，仅影响迭代收敛速度。模式采用灵活设计，可以在非静力与准静力、深层大气与浅层大气之间简单切换，并支持笛卡尔、球面和旋转椭球面等多种几何构型。这项工作为将该质量守恒方案进一步耦合到业务天气和气候预测模式以及物理参数化、资料同化和海洋模式中奠定了数值方法基础。
该研究的亮点在于：首次将基于SLICE的质量守恒SISL离散方法扩展到三维全球非静力深层大气方程；采用无参考状态方案消除了参考廓线对最终解的影响；通过简单开关实现非静力/静力和深层/浅层大气配置的灵活切换；并在多种标准动力核测试中验证了模式的一致性和质量守恒能力。该工作对发展下一代高精度、守恒型全球大气模式具有重要的科学和应用价值。