船舶作为全球贸易、运输和资源开发的关键载体，其性能直接影响运营经济性、环境足迹和航行安全。在能源成本上升和国际海事组织（IMO）能效设计指数（EEDI）、碳强度指标（CII）等环保法规日益严格的背景下，持续改进水动力性能已成为船舶设计与开发的核心目标。基于仿真的设计（SBD）方法结合了计算流体动力学（CFD）、几何参数化、实验设计（DOE）、代理模型和优化算法，是实现船型优化、降低阻力的主流技术路径。然而，传统的DOE方法在处理由各种几何、布置和性能约束构成的不规则设计空间时效率低下，且静态采样方法构建的代理模型在全局精度不足时会限制优化效率的进一步提升。针对此问题，由哈尔滨工程大学数学科学学院的Xinwang Liu等人领导的研究团队，提出了一种融合期望改进（Expected Improvement, EI）自适应采样策略与顺序约束蒙特卡洛（Sequentially Constrained Monte Carlo, SCMC）方法的改进实验设计方法，即EI-SCMC方法。该项研究以题为“A novel expected improvement-sequentially constrained monte carlo method for hull form optimization”的论文形式，于2025年12月16日在线发表在《Ocean Engineering》期刊第346卷上。

学术背景与研究目标 在工程优化领域，许多问题属于目标函数缺乏显式数学表达的“黑箱”问题，例如船舶阻力与航速、与船型参数的关系。代理模型（如Kriging模型、响应面模型、人工神经网络）通过评估有限数量的样本点来近似全局函数关系，能显著降低计算成本。实验设计（DOE）是代理模型构建的初始阶段，旨在以最少的计算开销科学地选择样本点。传统DOE方法（如最优拉丁超立方采样OLHS、Sobol序列）通常在规则设计空间（超立方体）内实施，但在船型优化中，设计变量的可行域往往受到多种等式或不等式约束，形成一个不规则的子空间。在此类空间中使用常规方法采样，会产生大量落在可行域之外的无效样本点，这些点对构建于可行域内的代理模型精度贡献甚微，导致计算资源浪费。

为解决复杂约束空间下的高效采样问题，Golchi和Campbell提出了顺序约束蒙特卡洛（SCMC）方法，该方法通过构建一系列逐渐收紧约束的序列，利用序贯重要性重采样（SIR）技术，引导样本渐进地逼近满足所有复杂约束的目标区域。然而，SCMC及其改进方法（如结合最大最小距离准则）主要关注设计空间内的均匀性，未能充分考虑目标函数本身的变化模式。另一方面，贝叶斯优化（BO）框架下的高效全局优化（EGO）方法，利用基于Kriging模型的期望改进（EI）采集函数，能智能地在可能找到全局最优或模型不确定性高的区域进行采样，已被广泛应用于各行业工程优化。但传统的EI方法主要针对规则设计空间，直接应用于不规则空间时，新增样本点可能落在可行域外，同样造成资源浪费。

因此，本研究旨在融合SCMC在复杂约束空间内实现均匀采样的能力，以及EI方法根据函数变化模式进行智能探索与开发的优点，提出一种新型的动态采样方法——EI-SCMC。其核心目标是：在保证代理模型整体精度的前提下，以尽可能少的样本点数量，高效地完成不规则设计空间内的实验设计，从而加速基于仿真的船型优化进程，并降低计算成本。

详细研究流程与方法 本研究主要包含两个验证阶段：标准数学函数的数值验证和Series 60船型阻力优化案例的应用验证。整体工作流程基于团队自主开发的船舶水动力智能优化（Marine Hydrodynamic Intelligent Optimization, MHIO）-HEU软件平台。

第一阶段：数值验证与对比分析 研究首先选用一个带有约束的二维标准测试函数进行方法验证。该函数的可行域仅占原始规则设计空间的很小一部分，具有代表性。研究详细对比了四种不同的顺序采样方法： 1. EI-SCMC方法：本研究提出的新方法。首先利用改进的SCMC方法在约束空间内生成20个初始均匀样本点；然后，基于这些点构建初始Kriging代理模型；接着，在EGO框架下，求解融合了约束指示函数的改进EI函数（见公式27），该函数确保最大值点始终位于可行域内；将此最大EI点作为新增样本加入；重复此过程，动态更新Kriging模型。 2. 改进的SCMC方法：作为对比基准之一。同样使用SCMC生成20个初始点，但后续的顺序采样采用最大最小距离（maximin distance）准则，旨在不断提升设计空间内样本的均匀性和正交性，而不考虑函数值。 3. 带约束的EI-Sobol方法：初始点由Sobol序列在包围不规则空间的超立方体内生成20个点，后续顺序采样采用引入了约束指示函数的EI准则（与EI-SCMC中的EI处理方式类似），以避免新增点落在可行域外。 4. 无约束的EI-Sobol方法：初始点由Sobol序列在原始规则空间生成20个点，后续顺序采样采用标准EI准则，不考虑约束。

研究对每种方法都进行了10次顺序采样，依次构建了包含21到30个样本点的动态Kriging模型。通过绘制代理模型的等高线图、EI函数等高线图，并追踪模型预测的最小值随样本数增加的收敛情况，来评估各种方法的性能。

第二阶段：船型优化案例应用 研究以Series 60标模在傅汝德数Fr=0.3下的静水总阻力最小化为优化目标，验证EI-SCMC方法的工程实用性。

1. 优化问题定义：设计变量选取为基于移位法（Shifting Method）修改船体型线时，用于修改函数g(x)的幅度a和固定横剖面位置参数b。修改函数在船艏部施加正弦形式的变形，以改变横剖面面积曲线。为确保生成合理的船型，定义了四个线性不等式约束，与变量的边界共同构成了一个二维不规则设计空间。优化问题的数学模型是：在约束条件下，最小化由势流理论计算得到的总阻力Rt。
2. 阻力计算方法验证：研究采用Neumann-Michell (NM)势流理论快速计算样本船型的兴波阻力系数，并结合ITTC摩擦阻力公式估算总阻力。通过将NM理论计算的Series 60船体表面波高、兴波阻力系数与已有的实验数据和其他数值结果进行对比，验证了该快速评估方法具有可靠的精度和高效性，适用于优化中的大量样本评估。
3. 优化求解与分析流程：
   • 基准“真实”最优解获取：首先，使用改进的SCMC方法在可行域内密集采样50个点，构建一个静态Kriging代理模型。以此模型作为高精度基准，利用遗传算法（GA）进行优化，得到的设计点及其阻力值被视为接近“真实”的最优解（记为x̃50， Rt=22.540N）。
   • EI-SCMC动态优化流程：然后，使用EI-SCMC方法启动优化流程。首先，仅用SCMC生成10个初始样本点，构建初始Kriging模型（模型0）。设定收敛准则为最大EI值小于阈值ε=0.001。具体迭代步骤如下：
     • 步骤1：基于当前N个样本点的Kriging模型，用GA寻优得到当前最优解x̃N，并记录模型预测阻力Rt_k和NM理论验证阻力Rt_nm。
     • 步骤2：计算当前模型在可行域内的改进EI函数，找出最大值maxEI及其对应的点x{N+1}。
     • 步骤3：若maxEI ≥ ε，则将x{N+1}作为新增样本点加入，样本数N增至N+1，更新Kriging模型，返回步骤1。
     • 步骤4：若maxEI < ε，则认为模型精度满足要求，迭代停止。最终优化结果即为当前模型的最优解x̃N。
   • 过程分析：研究详细记录了从10个初始样本开始，每次迭代增加一个样本点（第11、12、13点）的过程。通过绘制每次迭代后更新模型的阻力等高线图，直观展示了最优解预测位置如何从远离基准解（x̃50）快速向其靠拢，同时模型预测值与NM验证值之间的误差迅速减小。在第13个样本点加入后，maxEI值降至8.88×10^-4，满足收敛条件。此时，基于13个样本点的Kriging模型所得到的最优解x̃13，其设计变量值和总阻力值与基于50个样本的基准模型结果几乎完全相同。
   • 优化结果验证：将优化所得的最佳船型（Opt3）与初始船型进行对比。通过NM理论和CFD软件OpenFOAM分别计算了兴波波形、船体表面压力分布和总阻力。结果表明，优化船型在艏部波高略有增加的情况下，显著降低了肩部和艉部的波幅，船体表面高压区和低压区的空间范围明显收缩，从而有效降低了压阻力。NM理论计算的总阻力降低了11.2%，CFD验证的总阻力降低了5.7%，证实了优化效果的有效性和可靠性。

主要研究结果 1. 数值验证结果：四种方法的对比清晰地展示了EI-SCMC方法的优势。 * 收敛速度：在逼近测试函数真实最小值方面，两种基于约束EI的方法（EI-SCMC和带约束EI-Sobol）收敛最快。但EI-SCMC由于初始样本就在可行域内均匀分布，效率更高。具体而言，EI-SCMC在20个初始点基础上仅增加4个样本，预测最小值误差就达到10^-4量级；而带约束的EI-Sobol方法因初始点有部分在可行域外，需要增加6个样本才能达到同等精度。 * 采样策略分析：通过观察EI-SCMC顺序采样点的分布规律发现，前几次迭代的采样点集中在当前预测的最优解附近（利用， exploitation），而后几次迭代的采样点则转向设计空间边界等高方差区域（探索， exploration）。这体现了EI函数平衡“逼近已知最优”和“探索未知区域”的固有特性，使得该方法在提升目标区域精度的同时，也兼顾了代理模型的全局精度。 * 方法劣势凸显：改进的SCMC方法（仅基于距离）即使增加10个样本，其模型在最优区域附近的精度仍不理想。无约束的EI-Sobol方法则因大量样本点落在可行域外，对可行域内代理模型的改进微乎其微，效果最差。

1. 船型优化案例结果：
   • 效率对比：EI-SCMC方法仅用13个样本点构建的Kriging模型，其优化结果（设计变量与总阻力）与用改进SCMC方法采样50个点构建的模型结果高度一致。这显著证明了EI-SCMC在保证精度的前提下，大幅减少了所需的高成本CFD（或势流）评估次数，计算效率提升显著。
   • 优化效果：最终优化船型通过调整修改函数的幅度和固定截面位置，有效重塑了船体波形和压力分布。CFD验证确认总阻力降低了5.7%，表明了该动态采样策略与优化流程的工程实用价值。
   • 过程可视化：研究提供了迭代过程中Kriging模型阻力等高线的演变图，生动地展示了随着关键样本点（特别是高EI点）的加入，模型对最优解所在“山谷”地形的刻画从模糊到清晰、最优解预测位置从偏移到稳定的动态过程。

研究结论与价值 本研究成功提出并验证了一种适用于不规则设计空间的新型动态实验设计方法——EI-SCMC。该方法创造性地将SCMC处理复杂约束空间的能力与EI准则的智能采样能力相结合，实现了双重目标：在初始阶段获得约束空间内的均匀样本分布；在顺序采样阶段，有针对性地在目标函数极值区域和高预测方差区域增加样本点。其科学价值在于为解决约束黑箱优化问题中的“采样效率”与“模型精度”矛盾提供了一个高效的框架。应用价值体现在可直接应用于船舶与海洋结构物的型线优化、节能附件设计等领域，在满足多种工程约束的同时，以更少的仿真计算量获得高性能的优化方案，对于降低研发成本、加速绿色船舶设计进程具有重要现实意义。

研究亮点 1. 方法创新性：本研究的主要亮点在于方法论的融合与改进。提出“改进的EI函数”（公式27），通过引入约束指示函数将传统EI准则无缝嵌入到不规则可行域中，确保了所有顺序采样点的有效性，这是将贝叶斯优化有效拓展至约束空间的关键步骤。 2. 高效性验证充分：通过从标准数学函数到实际工程问题（Series 60船型优化）的两阶段验证，不仅证明了方法的通用性，更以直观的数据（13点 vs 50点）对比，强有力地证明了其在节约计算资源方面的巨大优势。 3. 系统性与细节呈现：研究流程完整，从算法原理、数值验证、工程应用到CFD验证，环环相扣。论文提供了丰富的可视化图表（如等高线图、迭代过程图、波形压力对比图），使读者能够清晰理解方法的工作原理和优化效果的物理机理。

其他有价值内容 论文还简要讨论了本方法的局限性及未来研究方向：当前每次迭代仅增加一个样本点，未来可扩展到并行采集多个样本点以加速收敛；本研究聚焦于二维变量优化问题，未来将把该方法推广到更高维、多目标的复杂优化问题中，例如涉及更多船型参数、同时优化阻力和推进效率等多目标的场景，以及在海上平台、浮式风机等更广泛海洋结构物优化中的应用验证。这些展望为后续研究指明了方向。