赵东东、张钱江、戴世坤、陈龙伟、李昆等来自中南大学地球科学与信息物理学院三维电磁反演与成像实验室的研究团队，于2015年6月在《The Chinese Journal of Nonferrous Metals》（中国有色金属学报）第25卷第6期发表了一项关于二维直流电阻率法快速反演算法的原创性研究。该研究针对地球物理勘探中的电阻率成像问题，提出了一种基于高斯-牛顿法（Gauss-Newton method）的高效反演方法，并验证了其在复杂地形条件下的适用性。

学术背景

直流电阻率法（Direct Current Resistivity Method）作为水文地质、工程勘探等领域的重要技术手段，其核心挑战在于如何通过地表测量数据准确重构地下电性结构。传统三维反演虽精度高，但计算成本巨大，因此二维反演仍是实际勘探的主流选择。然而，现有研究多集中于点源问题，对计算效率更高的线源（Line Source）问题研究不足。此外，起伏地形条件下的正演精度和反演稳定性问题尚未完全解决。本研究旨在开发一种结合高精度正演与快速反演算法的技术框架，以提升二维线源问题的计算效率与成像质量。

研究流程与方法

1. 正演数值模拟

研究团队采用有限单元法（Finite Element Method, FEM）求解二维线源直流电场的变分问题。关键创新点包括：
- 直接解法求解器：引入PARDISO_64位直接解法求解大型稀疏线性方程组（如式(5)所示），相比传统迭代法，在复杂地电模型（如高对比度介质或起伏地形）中保证了计算精度和稳定性。测试表明，当网格剖分规模为nx=301、nz=151时，求解时间随模型复杂度呈非线性增长（图1），但精度显著提升，均匀半空间模型数值解与解析解的平均误差低于0.35%（图2-3）。
- 混合边界条件：针对单极线源（式(3)）和偶极线源（式(4)）分别推导了变分公式，有效处理了源奇异性问题。

2. 反演算法设计

基于高斯-牛顿法的改进框架（式(10)-(12)），研究提出以下优化策略：
- 对角海森矩阵近似：在弱非均匀介质假设下，舍弃近似海森矩阵（Hessian Matrix）的非对角线元素，仅保留主对角线（式(12)），使计算效率提升25%。
- 正则化约束：采用Tikhonov正则化构建目标函数（式(7)），结合最平缓模型约束（式(9)）抑制反演多解性。
- 对数参数化：模型参数m定义为电导率σ的对数（σm lg=），通过式(13)实现迭代更新，增强数值稳定性。

3. 模型验证

通过两个合成模型验证算法性能：
- 水平地形模型（图4）：背景电阻率50 Ω·m中嵌入100 m×20 m的高阻（200 Ω·m）和低阻（10 Ω·m）异常体。反演结果显示，偶极-偶极装置（Dipole-Dipole Array）对异常体边界的分辨率优于三极装置（Pole-Dipole Array），拟合误差曲线（图5）表明前者收敛更快且异常响应更强。
- 起伏地形模型（图6）：相同异常体组合下，两种装置均能准确反映目标体位置，但偶极-偶极装置的异常幅值更接近真实模型（图8）。反演迭代中，偶极-偶极装置的视电阻率异常幅值始终高于三极装置（图8(a)-(b)），证实其对复杂地形的适应性更强。

主要结果与结论

1. 正演精度：直接解法在起伏地形条件下将平均误差控制在0.35%以内，为反演提供了高精度数据基础。
   
2. 反演效率：对角海森矩阵策略使高斯-牛顿法迭代速度提升25%，且收敛稳定（图5,7）。
   
3. 装置对比：偶极-偶极装置在异常体分辨率和地形适应性上均优于三极装置，尤其适用于边界精细成像（图4,6）。
   

研究价值与亮点

• 科学价值：首次将地震全波形反演中的对角海森矩阵近似策略引入直流电阻率法，为弱非均匀介质反演提供了新思路。
  
• 应用价值：算法可集成于高密度电法勘探系统，提升复杂地形下的勘探效率。
  
• 创新点：
  
  • 开发了基于直接解法的二维线源高精度正演框架；
    
  • 提出针对电阻率反演的对角化高斯-牛顿算法；
    
  • 系统对比了不同装置的探测性能，为野外工作提供选型依据。
    

其他亮点

研究团队开源了正演代码的核心模块（如PARDISO求解器接口），并建议将算法扩展至三维瞬变电磁场反演，为后续研究指明方向。