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自适应有限元法在非结构化网格直流电阻率正演建模中的应用研究
作者及机构
本研究由Hengyong Ren（第一作者，原中南大学信息物理与地理信息工程学院，现为ETH Zurich地球物理研究所）与Jingtian Tang（通讯作者，中南大学信息物理与地理信息工程学院）共同完成，发表于《Geophysics》期刊2010年1-2月刊（Vol. 75, No. 1, pp. H7-H17），DOI号为10.1190⁄1.3298690。
一、学术背景
本研究属于地球物理电磁法勘探领域，聚焦直流电阻率（DC resistivity）三维正演建模问题。传统有限元方法（FEM）在复杂几何模型（如地形起伏、异常体边界）中存在网格生成效率低、计算成本高的问题。为此，作者提出一种基于梯度恢复后验误差估计器（gradient-recovery-based a posteriori error estimator）的自适应有限元法（AFEM），旨在通过动态网格优化提升计算精度与效率。
研究目标包括：
1. 开发适用于非结构化网格的自适应算法，解决传统FEM在奇异区域（如源电极附近、电性界面）的精度不足问题；
2. 验证该方法在复杂地质模型（如含地形山谷、球体/立方体异常）中的适用性；
3. 实现超最优收敛速率（super-optimal convergence rate），降低计算资源需求。
二、研究方法与流程
研究分为四个核心步骤：
1. 数学模型构建
- 采用混合边界条件的泊松方程描述直流电阻率场（公式1）：
[ \nabla \cdot (\sigma \nabla u) = -I \delta(r-r_s)
] 其中，$\sigma$为电导率，$u$为电位，$I$为电流强度，$r_s$为源电极位置。
- 通过伽辽金有限元法（Galerkin FEM）将方程转化为弱形式（公式2），并离散为线性系统$Ku=f$（公式4）。
2. 自适应网格优化
- 初始网格生成：采用约束德劳内三角剖分（CDT）构建非结构化四面体网格，确保几何边界（如地形、异常体）的精确拟合。
- 误差估计与网格细化：
- 基于Zienkiewicz-Zhu（Z2）误差估计器计算局部梯度误差（公式6），通过超收敛 patch 恢复技术（SPR）拟合多项式梯度场（公式7-12）。
- 定义全局误差百分比$\eta$与单元平均误差$\eta_e$（公式13），若$\etae > 10\%$（预设阈值），则按公式18调整单元尺寸$h{new}$，生成新网格。
3. 数值求解
- 稀疏矩阵处理：采用压缩行存储（CRS）格式优化内存使用。
- 求解器：使用对称逐次超松弛共轭梯度法（SSORCG）迭代求解线性系统，残差范数设为$10^{-12}$。
4. 模型验证
测试三类模型：
- 球体模型：解析解已知（Van Nostrand & Cook, 1966），对比自适应法（adaptiver）与节点细化法（nodal refinement, NR）的精度。
- 垂直边界立方体模型：对比积分方程法（Hvozdara & Kaikkonen, 1994）与改进奇异性移除法（Li & Spitzer, 2002）。
- 二维山谷地形模型：验证地形适应性，对比Oppliger（1984）积分方程结果。
三、主要结果
精度与效率
- 球体模型：最终网格（67,769节点）平均相对误差0.45%，源电极附近误差0.5-0.94%，收敛速率$|k|=0.60$（超最优）。
- 立方体模型：平均误差0.53%，边界处精度优于传统方法（图8a）。
- 山谷模型：伪断面结果与积分方程法吻合（平均误差1.39%），验证地形适用性。
算法优势
- 自适应法在奇异区域（如电极附近）自动加密网格，无需先验知识（图2d）；
- 采用非结构化网格，显著减少无效计算（如NR方法在$d<0.01m$时精度停滞）。
收敛性能
自适应法的收敛速率$|k|$达0.52-0.80，远超传统FEM的理论下限（1/3），且对初始网格质量不敏感（图4）。
四、结论与价值
科学价值
- 提出首个基于梯度恢复误差估计的直流电阻率AFEM框架，为复杂地质建模提供高精度工具。
- 证实非结构化网格在电性界面拟合中的优势，推动地球物理数值方法的发展。
应用价值
- 可扩展至各向异性、瞬变电磁（TEM）等领域，尤其适用于矿产勘探、工程地质中的复杂模型。
- 开源软件IAG（基于libmesh）的发布促进了方法普及。
五、研究亮点
- 方法创新：将Z2误差估计器首次引入直流电阻率建模，实现超最优收敛。
- 工程优化：采用CRS存储与SSORCG求解器，平衡内存与计算效率。
- 验证全面：覆盖解析解、积分方程、地形模型三类基准测试。
六、其他贡献
- 提出“误差收敛速率”量化指标，为后续研究提供评估标准。
- 探讨了目标导向网格细化（goal-oriented refinement）的潜在价值，为反演计算提速指明方向。
（全文约2000字）