作者 Hao Chen 隶属于暨南大学信息科学技术学院与网络安全学院。该研究论文发表于2023年5月的《IEEE Transactions on Information Theory》（第69卷第5期）。该论文是一篇原创性研究，聚焦于信息论与编码理论中的一个特定问题——线性码在等价变换下的“壳”（hull）结构变化，即“壳变问题”（hull-variation problem）。研究旨在系统性地探讨当线性码通过坐标乘上非零向量（即等价变换）转换为等价码时，其欧几里得壳（Euclidean hull）或厄米特壳（Hermitian hull）的维度如何变化，并由此引入“最大壳维度”作为线性码的一个新的等价不变量。此项研究对深入理解线性码的结构、构造具有特定壳维度的码字，以及推进纠缠辅助量子纠错码（EAQEC codes）的设计具有重要的理论价值和应用意义。
研究的学术背景源于线性码理论中的几个核心概念与问题。在线性码C中，其与对偶码C⊥（或C⊥h）的交集C ∩ C⊥（或C ∩ C⊥h）被称为该码的欧几里得壳（或厄米特壳）。壳的维度反映了码字与对偶空间的重合程度，例如，当壳维度为0时即为LCD码，当壳维度等于码的维度时即为自对偶码或自正交码。前人研究，特别是2018年Carlet等人的工作，证明了在大多数有限域上，任何线性码都等价于一个LCD码，这相当于解决了将壳维度降至零的“壳递减”问题。然而，当码字通过等价变换v·C（v为非零向量）时，其壳结构如何系统地变化，即壳维度是否可以任意调整（增加或减少），以及其变化的内在规律与极限是什么，仍是一个开放且未被系统研究的问题。同时，在量子信息领域，壳维度与纠缠辅助量子纠错码（EAQEC codes）的参数直接相关，码的壳维度h决定了EAQEC码的消耗参数c（c = n - k - h），因此，构造具有任意指定壳维度h的线性码，尤其是极大距离可分（MDS）码，对于生成具有灵活参数的EAQEC码至关重要。基于此，本研究设定了明确目标：1) 形式化并提出“壳变问题”；2) 引入“最大（欧几里得/厄米特）壳维度”这一不变量；3) 分别研究从自对偶码出发的“壳递减”变化和从LCD码出发的“壳递增”变化的可行性及条件；4) 利用研究成果构造新的LCD码和任意壳维度的MDS码；5) 应用这些构造来生成新的EAQEC码。
研究的工作流程主要包括理论证明与构造两大核心部分，而非实验性的分步流程。研究“对象”是各类线性码及其在等价变换下的性质，“处理”方式是严谨的数学推导与构造性证明。
首先，作者在论文的第二部分正式定义了“最大欧几里得（厄米特）壳维度”（maxehull©, maxhhull©），并将其确立为线性码的一个等价不变量。通过理论分析（如命题2.1, 2.2），作者探讨了这一不变量的基本性质，例如其不超过码的维度，且自正交码的最大壳维度即为其自身维度。接着，作者在定理2.1和2.2中，利用施尔积（Schur product）的概念，为代数几何码等特定码类提供了一个下界，证明其最大壳维度至少可以达到其某个子码的维度。这为后续构造奠定了基础。
第二部分工作的核心是针对“壳递减”变化的分析。在第三部分，作者通过定理3.1解决了从自对偶码或厄米特自对偶码出发，能否通过等价变换得到任意较小壳维度码的问题。具体流程如下：对于一个给定的自对偶码[2n, n]q，选取其标准形式的生成矩阵(In, P)。然后构造一个特定的非零向量v，其前n-h个分量为满足λ_i^2 ≠ 1的λ_i，后h个分量为1。通过计算等价码v·C及其对偶v^{-1}·C⊥的生成矩阵，作者巧妙地证明了两者生成矩阵的后h行完全相同，从而保证壳维度至少为h。进而，通过反证法，作者证明了若存在一个不在后h行生成子空间中的码字同时位于v·C和其对偶中，将导致与λ_i^2 ≠ 1的假设矛盾，从而严格证明壳维度恰好为h。此证明过程逻辑严密，构造直接，不依赖于复杂的算法或软件，是纯粹的组合与代数论证。
第三部分工作则针对更具挑战性的“壳递增”变化。在第四部分，作者通过定理4.1研究了从LCD码出发，能否通过一个简单的“λ扰动”（λ-disturbing）变换得到一维壳码。其流程聚焦于一个关键条件：LCD码C及其对偶C⊥在某个坐标位置上的缩短码（shortening code）也必须是LCD码。在满足d ≥ 2, d⊥ ≥ 2的前提下，作者选取生成矩阵，将问题转化为寻找一个特定的λ值，使得由λ扰动的码C1与其对偶C1⊥的交集恰好为一维。证明的关键在于利用C是LCD码这一条件，将单位向量e分解为C和C⊥中向量的线性组合，并通过求解一个关于λ的二次方程（在q为偶数时总有解）来确定所需的λ。这一部分工作揭示了壳维度从0增加到1所需的一个相对“微弱”的条件，并表明许多已知的LCD码（如某些BCH码、MDS LCD码）都满足该条件。
在完成核心理论证明后，研究的第五和第六部分转向具体码类的构造与应用。第五部分利用变量替换x -> -x的技巧，将已有文献中构造的三元循环LCD码（特别是BCH码）转化为新的三元负循环（negacyclic）LCD码，如推论5.1所示。这丰富了小域上LCD码的资源库。第六部分则应用前述理论，在偶数特征域上，针对广义里德-所罗门码（GRS codes）和一类广义扭曲里德-所罗门码（twisted Reed-Solomon codes），给出了构造任意指定壳维度h的MDS码的显式方法（定理6.1，6.2）。其核心思想在于：在偶数域中，每个元素都是平方数，因此等价变换中的平方因子v_i^2可以取遍所有非零元。通过精心选择扰动向量u（其分量是α_i的幂次），可以直接控制交集的基向量形式，从而精确实现所需的壳维度h。
研究的第七部分集中展示了其在纠缠辅助量子纠错码（EAQEC codes）中的应用价值。根据CSS构造，一个具有h维壳的[n, k, d]线性码可以导出一个参数为[[n, k-h, d, n-k-h]]的EAQEC码。作者将第三、四、六部分的理论结果直接应用于此，得到了多项重要成果：1）从自对偶码出发，可以构造出参数灵活（h可变）的EAQEC码（推论7.1）；2）从偶数域上的GRS码和扭曲RS码出发，可以构造出大范围的MDS EAQEC码（推论7.2），其参数灵活性优于先前的一些构造；3）利用椭圆曲线上的自对偶近MDS码，构造了新的近MDS EAQEC码（推论7.3）；4）作为特色贡献，作者利用已知的最优厄米特自对偶码，生成了一系列小域（如F2, F3, F4, F5等）上的EAQEC码参数表（表I-VI），填补了此前小域EAQEC码构造相对稀少的空白。
本研究的主要结论在于系统性地建立并解答了线性码的“壳变问题”。其核心科学价值体现在：1）理论层面：引入了“最大壳维度”这一新的、自然的码不变量，深化了对线性码等价类结构的理解。证明了自对偶码可以通过等价变换实现任意小的壳维度（壳递减无障碍），而LCD码在较弱条件下可等价变换为一维壳码（壳递增从0到1基本无障碍）。这揭示了线性码壳结构在等价变换下的高度灵活性。2）构造层面：为在偶数特征域上构造具有任意指定壳维度的MDS码（包括GRS码和扭曲RS码）提供了统一且显式的方法，并由此派生出了大量参数优异且灵活的EAQEC码。3）应用层面：直接推动了量子纠错码领域的发展，特别是为设计小域上的实用化EAQEC码提供了新的工具和码表。
本研究的亮点突出表现在以下几个方面：首先，问题的新颖性与系统性：首次明确提出并系统研究“壳变问题”及“最大壳维度”不变量，将此前分散的研究（如LCD码的等价性）纳入一个更一般的框架。其次，证明的构造性与简洁性：关键定理（定理3.1, 4.1）的证明思路清晰，构造直接，具有数学美感，且结论强大。特别是定理3.1，通过巧妙的向量设计，一举解决了自对偶码到任意低维壳码的等价变换问题。第三，应用的广泛性与实用性：理论成果迅速转化为多种具体码类的构造方法（LCD负循环码、任意壳维度MDS码），并直接产出大量新的EAQEC码，特别是提供了小域上的具体参数，这对量子计算的实际硬件实现可能具有重要参考价值。第四，研究视角的独特性：同时关注“壳递减”和“壳递增”两个方向，揭示了它们不同的难易程度和条件，为后续研究指明了有趣的方向（如寻找壳递增的确切障碍）。
此外，论文还包含了其他有价值的内容，例如对代数几何码最大壳维度的下界估计（定理2.2），以及通过变量变换探讨循环/负循环码在更一般等价变换下的壳变问题（命题5.1）。这些内容进一步拓宽了研究的边界，显示了所提出理论工具的潜力。该论文是一篇理论深刻、构造丰富、应用导向明确的优秀研究，对编码理论与量子信息领域均做出了实质性贡献。