黄威（Huang Wei）、殷长春（Yin Changchun）*等作者来自吉林大学地球探测科学与技术学院，其研究成果《频率域航空电磁三维矢量有限元正演模拟》发表于《地球科学》（Earth Science）2016年第41卷第2期。该研究聚焦地球物理勘探领域，针对航空电磁法（Airborne Electromagnetic Method, AEM）的三维正演模拟难题，提出了一种基于矢量有限元（Vector Finite Element, VFE）的高效数值算法，旨在解决复杂电性结构下航空电磁响应的精确计算问题。

学术背景

航空电磁法自20世纪40年代发展以来，因其高效、低成本及适应复杂地形的优势，广泛应用于矿产勘查、油气资源探测等领域。然而，传统一维正反演方法难以应对地下介质的复杂电性分布，而三维模拟又因多源发射特性及空气-大地界面耦合问题导致计算效率低下。此前，有限差分法（FDM）和积分方程法（IEM）在模拟复杂电性结构时存在适应性差或计算精度不足的缺陷。有限元法（FEM）虽精度较高，但节点有限元（Node-based FEM）易产生伪解，且难以处理边界条件。为此，本研究引入矢量有限元法，通过棱边自由度自动满足电磁场切向连续性，克服了传统方法的局限性。

研究流程

1. 控制方程构建：
   研究从麦克斯韦方程组出发，为避免空气层中电导率趋零导致的弱耦合问题，将一阶方程转换为双旋度矢量非齐次亥姆霍兹方程（Double-Curl Inhomogeneous Vector Helmholtz Equation），并采用二次场分解法分离背景场与异常场，最终得到变分方程（公式8）。

2. 网格剖分与离散化：
   采用结构化六面体网格对求解域进行剖分（图1），目标区（含发射源、接收装置及异常体）网格加密，外围采用渐扩网格以减少边界效应。每个六面体单元的12条棱边赋予切向电场分量，利用矢量基函数（公式10-12）进行线性插值，确保法向不连续性和零散度条件。

3. 矩阵合成与求解：
   通过单元分析生成局部刚度矩阵（(k_1^e)和(k_2^e)）和右端项（(b^e)），合成总体稀疏复矩阵（公式14）。针对航空电磁多源问题，引入MUMPS（Multifrontal Massively Parallel Sparse Direct Solver）直接求解器，在Windows系统下实现并行计算，分解阶段耗时固定（如2.36分钟），单源求解仅需0.578秒，显著提升效率。

4. 磁场计算：
   基于电场解，通过矢量基函数求导（公式17-18）直接计算磁场分量，避免了传统数值差分法（公式16）的插值误差。

5. 模型验证与案例分析：

   • 精度验证：对比Newman and Alumbaugh（1995）的积分方程结果，单个异常体模型的磁场水平分量（(h_x)）和垂直分量（(h_z)）最大误差分别为4.46%和0.96%（图3），证明算法精度。
     
   • 典型模型：
     
     • 单个异常体（图2）：分析不同频率（900 Hz、5000 Hz、23000 Hz）和埋深（20 m、30 m、50 m）下的响应特征（图4），发现高频信号对深部异常体探测能力有限。
       
     • 覆盖层模型（图5）：覆盖层（20 m厚）导致响应幅值增强且异常平滑（图6），表明覆盖层与异常体耦合效应不可忽略。
       
     • 垂直接触带模型（图7）：接触带两侧电阻率差异（100 Ω·m vs 500 Ω·m）使响应曲线不对称（图8），异常体电阻率接近围岩时（50 Ω·m）难以识别。
       
     • 复杂构造：倾斜板状体（图9）和V型板状体（图11）的响应（图10、12）显示，矢量有限元可精确刻画非规则几何体的电磁特征。
       

主要结果

1. 算法有效性：MUMPS求解器结合矢量有限元显著提升了多源问题的计算效率，单源求解时间低于1秒，适用于大规模模拟。
   
2. 响应规律：
   
   • 异常体埋深增加或频率降低时，信号衰减明显；
     
   • 覆盖层和垂直接触带会显著改变响应幅值及形态；
     
   • 复杂构造（如V型板状体）的磁场响应呈现多峰特征，反映其几何分布。
     

结论与价值

本研究提出的三维矢量有限元算法为航空电磁数据的三维反演奠定了理论基础，其科学价值体现在：
1. 方法创新：通过矢量基函数和直接求解器，解决了传统有限元的伪解问题与计算效率瓶颈。
2. 应用价值：为复杂地质构造（如覆盖层、接触带、倾斜矿体）的电磁响应模拟提供了高精度工具，助力矿产勘探和地下水资源评估。

研究亮点

1. 技术突破：首次将矢量有限元与MUMPS求解器结合应用于航空电磁三维正演，实现了“精度-效率”平衡。
   
2. 模型多样性：系统分析了覆盖层、垂直接触带及复杂异常体的响应特征，填补了该领域研究空白。
   
3. 开源贡献：算法依托开源软件MUMPS，便于同行复现与扩展。
   

其他价值

研究团队公开了网格剖分和磁场计算的关键技术细节（如公式17-18），为后续开发自适应网格或反演算法提供了参考。此外，文中对倾斜板状体的阶梯状网格近似方法（图9）展示了矢量有限元处理复杂几何的灵活性。