《PRX Quantum》期刊于2021年11月29日发表了题为“Learning to Measure: Adaptive Informationally Complete Generalized Measurements for Quantum Algorithms”的研究论文。该研究的主要作者包括来自芬兰赫尔辛基大学、图尔库大学、阿尔托大学、algorithmiq公司、芬兰量子研究所以及IBM苏黎世研究中心的Guillermo García-Pérez、Matteo A.C. Rossi、Boris Sokolov、Francesco Tacchino、Panagiotis Kl. Barkoutsos、Guglielmo Mazzola、Ivano Tavernelli和Sabrina Maniscalco。
此项研究属于量子计算与量子信息科学领域，具体聚焦于提升变分量子算法（Variational Quantum Algorithms），特别是变分量子本征求解器（VQE）的效率。其学术背景源于当前含噪声中等规模量子（NISQ）时代的一个关键瓶颈：测量问题。在VQE等算法中，为了估计哈密顿量期望值（如分子基态能量），通常需要将目标可观测量分解为多个泡利串（Pauli strings）之和，然后分别测量每个泡利串。这种方法被称为“泡利方法”（Pauli method）。然而，这种方法存在严重的统计波动问题，即使对于精确制备的基态，其能量估计的方差也不为零，且可能很大。随着问题规模增大，要达到所需精度所需的测量次数（或称“shots”）会变得极其庞大，甚至不切实际，这构成了通向量子优势道路上的一个重要障碍。
本研究的核心目标是解决上述测量问题。研究者们引入了一种新颖的自适应信息完备广义测量方案。该方案不直接测量各个泡利串，而是通过信息完备的正算子值测度（IC POVM, Informationally Complete Positive Operator-Valued Measure）对量子态进行测量，并利用一种混合量子-经典蒙特卡洛采样方法来高效估计目标可观测量。更重要的是，他们开发了一种自适应算法，能够在线（on-the-fly）优化POVM的参数，以最小化估计过程中的统计方差，从而在总测量次数相同的情况下，显著提高估计精度。此外，由于测量数据是信息完备的，它们还可以被重复利用来推断其他感兴趣的物理量，如进行量子态层析。本研究旨在证明该方法的可行性和优越性，尤其是在计算分子基态能量这一量子化学核心应用中的表现。
研究的详细工作流程可以概括为以下几个相互关联的核心组成部分，并通过迭代过程实现：
一、混合量子-经典蒙特卡洛采样
这是整个方案的基础估计方法。首先，研究采用了一种通过辅助比特实现的参数化单量子比特IC POVM。具体而言，对于每一个系统量子比特，将其与一个初始化为|0>态的辅助比特进行一个特定的两比特门操作，然后对两个比特进行投影计算基测量。通过参数化这个两比特门，可以得到一族参数化的POVM。对于一个n量子比特系统，使用局域（可能不同参数）的IC POVM进行测量，每次测量会产生一个由n个数字（每个数字在{0,1,2,3}中取值）组成的字符串m，其概率为pm = Tr[ρ E_m]，其中ρ是系统态，E_m是相应的POVM效应（effect）。
关键在于，任何可以用泡利串线性组合表示的可观测量O = Σ_k c_k P_k，其期望值可以重新表示为：
二、POVM优化的经典梯度估计
为了降低方差Var(ω_m)，研究提出自适应优化POVM的参数。关键在于，无需在量子设备上为每一个待评估的候选POVM都重新进行测量。由于当前使用的POVM是信息完备的，任何其他POVM的效应都可以用当前POVM的效应线性表示。因此，方差Var(ω‘_m)（对应新POVM）的第二矩<ω‘^2_m>可以表示为关于当前测量数据的一个表达式。利用已从量子计算机获得的采样序列m_1, …, m_s，可以通过经典后处理高效地计算这个表达式，进而估计方差相对于POVM参数的梯度。具体采用有限差分法来近似梯度分量。这个过程完全是经典计算，其复杂度是多项式级别的，从而实现了“无额外测量开销”的梯度评估，指导POVM参数的更新方向，使其朝着减小方差的方向移动。
三、在线优化与数据融合
自适应方案并非先完全优化POVM再开始估计可观测量，而是将优化过程与估计过程交织在一起。在迭代过程中，每一步使用当前的POVM进行一批测量，用这批数据做两件事：1) 用蒙特卡洛方法估计当前步骤的观测量均值Ō_t及其方差估计v̄_t；2) 用同批数据经典地计算梯度，并更新POVM参数用于下一步。此外，研究设计了一个迭代的数据融合方案，将不同步骤（对应不同POVM）得到的估计值{Ō_t}以最优方式（最小化整体方差）进行加权平均，得到一个全局估计值。具体算法是：初始化后，每一步将新的估计Ō_t, v̄_t与之前积累的全局估计Ō, v̄按权重v̄^{-1}进行混合。这个方案保证了最终估计是无偏的，并且充分利用了所有中间步骤的测量数据来降低总误差。
四、数值模拟实验设计
为了验证方法的性能，研究进行了广泛的数值模拟。研究对象是H2、LiH和H2O分子的电子结构问题。使用不同的基组（如STO-3G, 6-31G）和不同的费米子-量子比特映射（包括Bravyi-Kitaev (BK)、Jiang等人提出的映射(JKMN)、Jordan-Wigner (JW)和Parity映射），并结合对称性化简和冻结芯轨道等技术，构造了多个不同规模的量子比特哈密顿量（量子比特数从4到14不等）。对于每个哈密顿量，首先使用硬件高效的变分量子线路（Hardware-Efficient Ansatz）通过经典模拟进行VQE优化，得到近似基态波函数。然后，在这个固定的量子态上，模拟比较不同测量方案估计基态能量的精度与所需测量次数的关系。比较的方案包括：标准泡利方法、分组泡利方法、使用两种固定对称信息完备POVM（SIC-POVM）的蒙特卡洛方法（无优化）、以及基于梯度下降的自适应POVM方法（从两种不同的SIC-POVM初始条件出发）。总测量次数（shots）从少到多变化，评估指标是估计能量与精确期望值之间的绝对误差。此外，还评估了达到目标精度（如0.5 mHa）所需测量次数随系统规模（使用氢链模型）的标度行为。最后，还演示了利用为能量估计收集的IC数据，进行高精度部分量子态层析（k-qubit reduced state tomography）的可行性。
研究的主要结果如下：
能量估计的学习效果：对于H2、LiH、H2O分子的多个实例，自适应测量方案在相同总测量次数下，其能量估计误差普遍低于标准泡利方法和分组泡利方法。误差下降曲线在初始阶段优于s^{-1⁄2}的标度，显示出自适应优化带来的效率提升。即使从简单的SIC-POVM开始（不优化），其性能也常常优于分组泡利方法，尤其当问题规模增大时。自适应优化进一步降低了误差。此外，方案中估计的统计误差（v̄^{1⁄2}）与实际误差吻合良好。
POVM优化过程可视化：对POVM效应在类似布洛赫球的几何表示中可视化显示，从同一初始条件出发的不同模拟运行，最终收敛到大致相同的POVM设置（对不同量子比特，最优设置不同），表明优化过程的稳定性。而从不同初始条件出发，可能会收敛到不同的局部最优，但性能相近，暗示可能存在更优的初始点。
性能与标度分析：对于固定总测量次数（s ≈ 10^6），自适应方案在大多数测试的分子和映射组合中，都取得了比其他对比方法更小的平均误差。特别对于较大的系统如14量子比特的H2O分子，优势更明显。通过对氢链模型的分析，研究了达到固定精度（0.5 mHa）所需测量次数star随量子比特数n的标度。拟合star = a n^b中的指数b发现：标准泡利方法b≈6，分组泡利方法b≈5.7；而使用JKMN映射时，无优化的SIC-POVM蒙特卡洛方法b≈4.8-4.9，自适应POVM方法b可降至约3.3。值得注意的是，即使对于通常导致泡利串权重较高的JW映射，自适应策略也能找到使其高效的POVM，标度指数b约为3.0-3.2。这表明自适应方法不仅带来绝对性能提升，还显著改善了问题的规模标度，其效率与现有最先进的测量缩减技术相当甚至更优。
信息完备数据的再利用（层析演示）：利用为估计LiH和H2O分子基态能量而收集的IC数据（s=10^5次测量），在不进行任何额外实验的情况下，成功对所有k-量子比特约化密度矩阵进行了层析重建。结果显示，重建态与真实态之间的保真度很高（不忠诚度f̃很小）。特别地，与未经优化的SIC-POVM数据相比，经过能量优化目标的自适应POVM所收集的数据，其层析重建的保真度更高（不忠诚度降低了一个数量级）。这强有力地证明了IC数据的复用价值。
研究的结论是，提出并验证了一种集成混合量子-经典蒙特卡洛采样、POVM空间高效导航和最优数据融合的自适应信息完备测量算法。该算法能够在线学习针对特定可观测量（如分子哈密顿量）的优化测量方案，无需额外测量开销，即可大幅降低估计所需的测量成本。该方法对哈密顿量的具体形式无特殊要求，只要可观测量可分解为泡利串的线性组合即可。数值模拟表明，该方法在计算分子基态能量时，其效率与现有最先进技术相当，并且在规模标度上表现出显著改善。
本研究的科学价值和应用价值在于：第一，为解决NISQ时代变分量子算法中的关键瓶颈——测量问题——提供了一种新颖且强大的解决方案。第二，该方法具有通用性，不限于量子化学，可应用于任何需要估计可观测量期望值的量子算法。第三，它提出了利用信息完备性的新视角，使得一次测量收集的数据可以服务于多种后续分析（如不同可观测量估计、态层析），提高了量子设备的利用效率。第四，尽管方案需要额外n个辅助量子比特，但这些比特在计算过程中处于空闲状态，仅在测量时启用，且所需增加的电路深度是常数级的（一层可并行的两比特门），硬件开销相对可控，在近-term设备上具有可行性。
研究的亮点包括：1) 方法的新颖性：将IC POVM与蒙特卡洛采样、自适应优化相结合，创造性地解决了测量中的方差最小化问题。2) 无开销优化：利用IC性质，通过经典后处理估计梯度，避免了为优化而进行额外量子测量的开销。3) 数据复用能力：信息完备性使得测量数据成为可重复挖掘的“数据宝藏”，超越了单一任务限制。4) 优异的性能表现：通过大量数值实验证实了方法在精度和标度上的双重优势，特别是在多种费米子映射下均表现良好。5) 理论与实验的衔接：详细阐述了POVM的参数化、电路实现方案（使用辅助比特），为未来在真实量子硬件上实现铺平了道路。
其他有价值的内容包括对算法潜在局限性的讨论，例如权重较高的泡利串（如在JW映射中）可能导致ω_m的数值范围过大，从而在理论上影响效率。但研究指出，通过使用BK或JKMN等产生低权重泡利串的映射可以缓解此问题，并且即使对于JW映射，自适应算法也能找到高效的POVM设置。此外，研究还讨论了在真实硬件上可能遇到的挑战（如连接性导致的SWAP门、读出噪声等）以及潜在的解决方案，显示了方案的实际应用前景。