学术报告：自对偶循环码（self-dual cyclic codes）及其平方根式最小距离下界的新突破

一、作者与发表信息
本研究的通讯作者为香港科技大学的Cunsheng Ding与暨南大学的Hao Chen，成果发表于IEEE Transactions on Information Theory（2025年4月，第71卷第4期）。

二、研究背景与目标
研究领域为编码理论（coding theory），核心关注自对偶循环码的构造与性能分析。自对偶码（self-dual codes）因其在量子纠错码、组合设计等领域的应用价值备受关注，但长期以来，已知的无限族自对偶循环码的最小距离下界仅达到平方根级别（即 ( d \geq \sqrt{n} )），且缺乏优于该下界的非二进制构造。

本研究旨在解决两大难题：
1. 构造首个无限族的欧几里得自对偶循环码（Euclidean self-dual cyclic codes），其最小距离下界超越平方根级别（适用于 ( q \geq 4 ) 的有限域 ( \mathbb{F}_{2^s} )）；
2. 提出首个满足平方根下界的无限族二进制自对偶循环码，填补该方向的理论空白。

三、研究方法与流程
1. 广义Van Lint定理的扩展
- 原始Van Lint构造仅适用于二进制域且要求生成多项式互素。本研究将其推广至 ( \mathbb{F}_{2^s} ) 域，并移除互素条件，提出更通用的Plotkin和构造（[u|u+v] construction）。
- 关键步骤：通过循环码 ( C_1 \subseteq \mathbb{F}_q^n ) 及其对偶子码 ( C_2 \subseteq C_1^\perp )，生成长度为 ( 2n ) 的循环码 ( C’ )，其生成多项式为 ( g_1(x)^2 g_2(x) )，其中 ( g_2(x) ) 为 ( x^n - 1 ) 的因子。

1. 自对偶码的构造框架

   • 欧几里得自对偶码：基于对偶包含码（dual-containing codes），通过广义Van Lint定理证明 ( C’ ) 的自对偶性，并利用BCH码（Bose-Chaudhuri-Hocquenghem codes）的最小距离下界保证性能。
     
   • Hermitian自对偶码：在 ( \mathbb{F}_{2^{2s}} ) 域上，类似构造满足 ( d \geq \delta ) 的循环码，其中 ( \delta ) 为设计参数。
     

2. 具体参数化与下界证明

   • 对奇数 ( m ) 和 ( n = \frac{q^m - 1}{\mu} )，选取BCH码的设计距离 ( \delta = \left\lfloor \frac{q^{(m+1)/2} - q + 1}{\mu} \right\rfloor )，通过定理3和定理4证明其满足对偶包含性。
     
   • 当 ( \mu = 1 ) 时，码 ( C’ ) 的最小距离下界为 ( q^{(m+1)/2} - q + 1 )，显著优于平方根下界（例如 ( q=4, m=3 ) 时 ( d \geq 7 )）。
     

3. 二进制循环码的特例

   • 针对素数长度 ( n \equiv 7 \mod 8 )，利用二次剩余码（quadratic residue codes）构造自对偶码 ( C’ )，其最小距离 ( d \geq \lceil \sqrt{n} \rceil )，如参数 [62,31,8] 的实例。
     

四、主要结果与逻辑关联
1. 理论突破
- 定理5首次实现非二进制自对偶循环码的最小距离下界超越平方根级别（如 ( q=4, m=3 ) 时 ( d \geq 7 )），而传统下界为 ( \sqrt{42} \approx 6.48 )。
- 定理10给出无限族二进制自对偶循环码的平方根下界，例如 [206,103,20] 码，填补了该类型码的构造空白。

1. 实验验证
   
   • 通过具体参数实例（如例1的 [14,7,4] 码和例3的 [126,63,14] 码）验证理论下界的紧密度，实际最小距离可能优于理论预测（如例3中 ( d=14 ) 远超下界7）。
     

五、研究意义与价值
1. 理论价值
- 解决了自对偶循环码最小距离下界长期停滞的问题，为编码理论提供了新的工具（如广义Van Lint定理）。
- 提出的构造方法可扩展至其他类型自对偶码（如Hermitian码和线性码）。

1. 应用潜力
   
   • 高性能自对偶码可提升量子纠错码（quantum error-correcting codes）的容错能力。
     
   • 二进制实例（如 [62,31,8] 码）可直接应用于通信系统的纠错设计。
     

六、研究亮点
1. 方法创新：广义Van Lint定理突破了原始构造的限制，支持更灵活的码参数化。
2. 性能突破：首次实现非二进制自对偶码的最小距离下界超越平方根级别。
3. 普适性：构造框架适用于欧几里得、Hermitian及线性自对偶码，覆盖广泛的研究需求。

七、其他重要内容
- 开放问题1（Open Problem 1）提出是否存在二进制自对偶循环码的最小距离下界优于平方根级别，为后续研究指明方向。
- 附录中列举了已知的非循环自对偶码家族（如扩展二次剩余码），凸显了本研究的独特性。