三维大地电磁反演中有限记忆拟牛顿优化方法的研究报告

作者及发表信息

该研究由Dmitry Avdeev（俄罗斯科学院地磁、电离层和无线电波传播研究所）和Anna Avdeeva（德国基尔GEOMAR研究所）合作完成，发表于Geophysics期刊2009年5-6月第74卷第3期，页码F45-F57，DOI: 10.¹¹⁹⁰⁄₁.3114023。

学术背景

大地电磁（Magnetotelluric, MT）法是地球物理勘探中重要的电磁方法，通过测量天然电磁场响应推断地下电性结构。传统三维MT反演面临两大挑战：
1. 计算复杂度高：需存储海量雅可比矩阵或海森矩阵，内存需求与模型参数数量平方成正比（(O(N^2))）；
2. 非唯一性问题：需通过正则化约束模型平滑性，但传统Tikhonov正则化在稀疏测点下可能失效。

本研究提出一种基于有限记忆拟牛顿（Limited-Memory Quasi-Newton, LMQN）优化的三维MT反演方法，通过伴随法（adjoint method）计算目标函数梯度，显著降低内存需求至(O(N))量级，并引入附加正则化解决浅层电阻率振荡问题。

研究方法与流程

1. 反演问题构建

• 目标函数：
  采用Tikhonov正则化惩罚函数：
  [ \Phi(\sigma, \lambda) = \Phi_d(\sigma) + \lambda \Phi_s(\sigma)
  ] 其中(\Phi_d)为数据拟合项（基于阻抗矩阵残差的Frobenius范数），(\Phi_s)为平滑稳定项（拉普拉斯算子离散化）。

• 模型参数化：
  直接反演电导率(\sigma)而非对数电阻率，约束其上下限（如0.01-10,000 S/m），避免对数变换导致的数值不稳定。

2. 有限记忆拟牛顿优化

• 核心算法：
  采用L-BFGS（有限记忆BFGS）更新逆海森矩阵近似，仅需存储少量修正向量对（通常6对），内存需求降至(2 \times N{cp} \times N)（(N{cp})为修正对数）。

• 梯度计算：
  通过伴随法将梯度计算转化为两次正演模拟：

  1. 求解原始Maxwell方程获取电场(\mathbf{E})和磁场(\mathbf{H})；
     
  2. 求解伴随方程获取辅助场(\mathbf{u})，最终梯度表达式为：
     [ \frac{\partial \Phi_d}{\partial \sigmak} = \text{Re} \int{V_k} \mathbf{u} \cdot \mathbf{E} \, dv
     ]
     该方法使计算成本与频率数(N_t)线性相关，而与模型参数数(N)无关。
     

3. 正则化策略改进

• 传统Tikhonov局限：
  在稀疏测点（如80个站点）下，浅层电阻率出现剧烈振荡，仅能恢复测点下方局部结构。

• 附加正则化：
  引入空间平滑算子对梯度场进行加权：
  [ \tilde{g}k = \sum{k’} f{kk’} \frac{\partial \Phi}{\partial m{k’}}
  ]
  其中权重(f_{kk’})随网格距离指数衰减，强制相邻单元参数平滑变化。

4. 数值实验验证

• 模型1（出露倾斜低阻板）：

  • 设置：42个测点，4个频率（1-1000 Hz），初始模型为100 Ω·m均匀半空间。
    
  • 结果：反演成功恢复了板状体的倾角与电阻率（3 Ω·m），但浅层存在高阻假异常。
    

• 模型2（层状背景中的高低阻块体）：

  • 密集测点（400个）：传统Tikhonov反演可恢复块体形态，但高阻体电阻率被高估；
    
  • 稀疏测点（80个）：传统方法失效，附加正则化后分辨率显著提升，界面位置准确重建。
    

主要结果与逻辑链条

1. 计算效率：LMQN方法将内存需求从(O(N^2))降至(O(N))，使大规模三维反演（如3600个单元）在单机（4天/案例）上可行。
   
2. 附加正则化效果：稀疏测点下，附加正则化将数据拟合差从11降至2.5，消除浅层振荡（图7对比）。
   
3. 多频数据必要性：单频（10 Hz）反演结果模糊，多频联合反演改善深部分辨率（图2b）。
   

研究结论与价值

• 科学价值：

  • 提出首个基于LMQN的三维MT反演框架，为大规模电磁反演提供新范式；
    
  • 揭示传统Tikhonov正则化在稀疏测点下的局限性，提出可操作的改进方案。
    

• 应用价值：

  • 适用于陆地/海洋MT数据，兼容静态位移校正（未来扩展方向）；
    
  • 开源代码X3D作为正演引擎，可集成至其他反演平台。
    

研究亮点

1. 算法创新：结合LMQN与伴随法，实现计算效率与精度的平衡；
   
2. 正则化突破：通过梯度平滑算子解决稀疏数据下的病态问题；
   
3. 验证全面性：从均匀空间解析解验证到复杂模型测试，涵盖方法鲁棒性分析。
   

其他价值

• 跨领域适用性：伴随法设计可推广至可控源电磁法（CSEM）、井中感应测井等电磁问题；
  
• 自动化潜力：文中指出正则化参数(\lambda)的自适应选择是未来优化方向，可借鉴乘性正则化技术（Abubakar et al., 2008）。
  

（注：专业术语如”adjoint method”首次出现译为”伴随法”，”Tikhonov regularization”译为”Tikhonov正则化”，保留算法名L-BFGS等原称谓。）