类型a：学术研究报告
本文档是1925年由德国哥廷根大学（Göttingen）的W. Heisenberg发表在《Zeitschrift für Physik》（第33卷，879-893页）上的原创性研究论文，题为《über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen》（《关于运动学和力学关系的量子理论重构》）。这篇论文是量子力学发展史上的里程碑，标志着矩阵力学的诞生，并为后续的量子力学形式体系奠定了基础。
学术背景
20世纪初，经典力学在解释原子尺度现象时遭遇严重挑战。玻尔（Bohr）的旧量子理论虽能解释氢原子光谱，但无法处理更复杂的系统（如多电子原子或外场作用下的原子）。当时，量子理论的计算规则依赖于一些“原则上不可观测”的物理量（如电子轨道），这引发了理论自洽性的质疑。Heisenberg的目标是建立一种仅基于可观测量的量子力学理论，从而避免经典力学在微观领域的失效。
本文的核心问题包括：
1. 如何用可观测的辐射频率和振幅（而非电子位置或轨道）重构量子力学？
2. 如何从经典力学的运动方程出发，推导量子理论的对应关系？
3. 如何通过量子条件（如Kramers色散理论）唯一确定系统的能量和跃迁概率？
研究流程与方法
Heisenberg的研究分为以下关键步骤：
1. 运动学的量子理论重构
- 问题提出：经典力学中，物理量（如位置(x(t))）可通过傅里叶级数展开，但量子理论中无法直接定义类似的函数。
- 解决方案：用双变量函数（如(a(n, n-\alpha))）表示量子理论中的振幅和频率，其中(n)为量子数，(\alpha)为跃迁阶数。
- 关键创新：提出量子理论中物理量的乘法规则（如(x(t)^2)的表示），通过非对易性（non-commutative）体现量子特性。例如：
[ x(t)y(t) \neq y(t)x(t) ]
这一规则后来成为矩阵乘法的雏形。
2. 力学方程的量子化
- 经典运动方程：如谐振子方程(\ddot{x} + \omega_0^2 x + \lambda x^2 = 0)，其解为傅里叶级数。
- 量子对应：将方程中的量替换为量子理论的代表（如用(a(n, n-\alpha))代替经典振幅），并通过递归关系求解。
- 量子条件：引入Kramers色散理论的推广形式，确保能量和频率满足玻尔频率条件：
[ \omega(n, n-1) = \frac{1}{h}[W(n) - W(n-1)] ]
3. 具体系统验证
- 非谐振子（Anharmonic Oscillator）：通过微扰法计算能级修正，发现量子理论下能量表达式与经典理论不同（如零点能的存在）。
- 转子（Rotator）：推导角动量量子化条件，提出能级公式：
[ W(n) = \frac{h^2}{8\pi^2 m a^2}(n^2 + n + \frac{1}{2}) ]
该结果与半整数量子化的实验观测一致，支持了理论的正确性。
主要结果
量子运动学形式体系：
- 证明了经典物理量的乘积在量子理论中需替换为双变量函数的组合，如公式（7）和（8）。
- 发现相位在量子理论中仍有物理意义（如影响跃迁振幅）。
量子力学方程的建立：
- 通过谐振子和非谐振子的求解，验证了量子化运动方程的自洽性。
- 能量计算表明，量子理论必须引入零点能（如公式23），这与经典理论截然不同。
实验验证：
- 转子的角动量量子化结果与Kratzer观测的分子光谱数据吻合。
- 强度公式（如Goudsmit-Kronig-Hönl规则）通过量子理论自然导出，无需额外假设。
结论与意义
本文的价值在于：
1. 理论突破：首次提出基于可观测量的量子力学形式体系，为矩阵力学和后续的波动力学奠定基础。
2. 方法论创新：通过非对易性运算揭示量子系统的本质特征，这一思想后被发展为希尔伯特空间中的算子理论。
3. 实验指导：解决了旧量子理论中半整数量子化的争议，并为原子光谱、塞曼效应等提供了统一解释框架。
研究亮点
- 革命性观点：摒弃电子轨道的经典图像，仅用可观测的辐射性质构建理论。
- 数学工具的先驱性：隐含的矩阵乘法结构比薛定谔的波动力学更早出现。
- 广泛适用性：从简单系统（谐振子）到复杂问题（交叉场中的原子）均能自洽处理。
本文的局限性在于未完全解决多体问题，但其核心思想成为现代量子力学的基石。后续的Born-Jordan合作进一步完善了矩阵力学的数学形式，而Dirac则将其抽象为更普遍的算子理论。