基于深度学习的多保真度气动分布建模：来自实验与模拟数据的融合方法

一、研究概述

本研究由西北工业大学（Northwestern Polytechnical University）的李凯（Kai Li）和马德里理工大学（Universidad Politécnica de Madrid）的寇嘉庆（Jiaqing Kou）以及西北工业大学的张伟伟（Weiwei Zhang）共同完成。该论文于2022年4月8日在线发表，并于2022年7月正式刊登在美国航空航天学会（AIAA）旗下的权威期刊《AIAA Journal》（第60卷，第7期）上。研究针对现代飞行器气动设计领域中的一个核心挑战——如何高效且精确地获取机翼表面气动分布数据——提出了一种创新的解决方案。

二、学术背景与研究动机

在现代飞行器设计与开发阶段，获取精确的气动数据至关重要。这些数据主要来源于两大途径：一是风洞实验，其结果精度高，被视为高保真度（high-fidelity）数据，但其成本极其昂贵，且受限于压力测量孔的物理数量，难以获取充足且详尽的分布数据；二是计算流体力学（CFD：Computational Fluid Dynamics）数值模拟，其成本较低，可作为低低保真度（low-fidelity）数据源，但其精度相对有限，很多时候无法与实验结果完全吻合，尤其是在跨声速这类具有强非线性特征的流动中，其激波位置和流动分离的预测常存在显著偏差。

因此，数据融合（data fusion）作为多保真度管理策略应运而生，其核心思想是结合少量高精度实验数据与大量低保真度CFD数据，构建出一个计算成本低但预测精度高的模型。然而，现有的多保真度气动模型研究主要集中在对升力、阻力等集成量（integrated quantities）的预测上，对于沿机翼表面的压力系数（Cp）等分布量（distributed data）的建模研究甚少。分布量的数据维度远高于集成量，这使得传统的多保真度高斯过程回归（Gaussian process regression）或协同克里金（cokriging）等方法在训练时面临极高的计算复杂度，且主要擅长捕捉线性相关性，难以处理复杂的非线性流动物理特征。

基于此背景，本研究的目标是开发一种全新的、基于深度神经网络（DNN：Deep Neural Network）的多保真度气动分布模型。其核心创新在于，通过修改损失函数，将CFD数据作为一种“软惩罚约束”（soft penalty constraint）嵌入到模型训练阶段，从而使模型能够从少量高保真度实验数据和大量低保真度CFD数据中高效学习，最终实现对跨声速机翼表面压力分布的精确预测。

三、详细研究方法与工作流程

本研究的方法论核心是对标准深度神经网络训练流程的巧妙改造，其工作流程主要包含以下五个步骤。

第一步是数据集的构建。研究选择了经典的ONERA M6机翼作为研究对象，这是一套广泛用于CFD验证的公开标准算例。高保真度数据来自Schmitt和Charpin在AGARD报告中公布的跨声速风洞实验的压力系数分布，涵盖七个展向位置（y/b = 0.20, 0.44, 0.65, 0.80, 0.90, 0.95, 0.99），涉及多个马赫数（Ma）和攻角（α）的工况组合。低保真度数据则由研究团队使用自主研发的CFD求解器GFSI进行计算获得。该求解器通过求解三维定常可压缩雷诺平均奈维尔-斯托克斯（RANS：Reynolds-Averaged Navier–Stokes）方程，并耦合Spalart-Allmaras湍流模型来模拟流场。论文首先对比了计算结果与实验数据，明确指出了在λ激波和流动分离区域，两者存在显著差异，这正是需要多保真度融合来修正的地方。

第二步是模型架构设计。模型采用前馈全连接深度神经网络，输入层包含四个变量：马赫数（Ma）、攻角（α）、弦向相对坐标（x/c）和展向相对坐标（y/b）。输出层为对应点的表面压力系数（Cp）。考虑到机翼上、下表面压力分布的物理特性差异巨大，研究为上、下表面分别建立了独立的神经网络模型。网络结构统一设定为3个隐藏层，每个隐藏层包含20个神经元，并采用双曲正切函数（tanh）作为非线性激活函数。

第三步是本研究的核心创新——修改损失函数（loss function）。在标准的回归问题中，常用均方误差（MSE：Mean Square Error）作为损失函数。本研究通过引入重加权（reweighting）技术，提出了一种修正的均方误差（MMSE）损失函数。该函数由两部分加权求和而成：第一部分是高保真实验数据的预测值与真实值之间的均方误差；第二部分是低保真度CFD数据的预测值与真实值之间的均方误差，并除以一个权重系数ρ。这个系数ρ的作用是调节低保真度数据在训练过程中的影响程度，其最佳值通过一个独立的验证集来确定。这种设计使得CFD数据不再是硬性要求模型完全拟合的目标，而是作为一种提供潜在物理规律先验信息的软约束，从而引导模型在缺乏实验数据的区域也能做出符合物理规律的预测，并有效抑制过拟合。

第四步是模型训练与验证策略。研究将数据集划分为训练集和验证集，其中80%的高保真数据用于训练网络参数，剩余20%的验证集专门用于优化关键超参数ρ。训练过程采用自适应矩估计（Adam）优化器进行随机梯度下降，并使用小批量（minibatch）训练来处理大规模数据集。整个网络在Python的机器学习库PyTorch中实现。

第五步是模型性能的评估与测试。研究设计了多组难度递增的测试场景来全面验证模型性能。评估指标包括相对误差、平均绝对误差和均方根误差。

四、主要研究成果与分析

研究通过一系列精心设计的测试，系统地展示了所提出模型在多个维度上的性能优势。

首先，在随攻角变化的插值预测任务中，模型表现优异。以训练案例A2exp, C2exp, E2exp及对应计算案例为例，使用优化后的权重ρ=0.01，多保真度模型预测的Cp分布在所有展向截面，尤其是在激波位置变化剧烈的区域（如y/b=0.80, 0.90, 0.95），比仅用实验数据训练的单保真度（single-fidelity）DNN模型更贴合实验结果。特别是在y/b=0.80截面，实验数据本身较为稀疏，但融合了CFD先验信息的多保真度模型成功捕捉到了复杂激波诱导的强压力变化。

其次，研究深入考察了模型在CFD数据指导下的外推能力。在构建模型M1时，其训练集包含了目标外推状态E2exp对应的CFD计算案例E2com；而模型M2则不包含。结果显示，M1对测试案例E2exp的预测相对误差为14.31%，而M2和单保真度模型则分别高达16.20%和16.87%。这一对比有力地证明了，在对模型进行外推预测时，即使没有对应的高保真度数据，仅引入该目标状态的CFD计算数据作为软约束，也能显著提升预测精度，为模型提供了宝贵的外部物理信息。

再次，研究探究了在仅有极少实验数据情况下的模型鲁棒性。当仅用两个实验案例（A2exp和E2exp）进行训练时，单保真度模型在预测中间状态（如C2exp）时出现了极大的误差，而多保真度模型由于有大量CFD数据作为支撑，仍然保持了可接受的预测精度，其相对误差远低于单保真度模型，展现出卓越的泛化能力和稳健性。

进而，研究评估了模型对未知展向位置的预测能力。在训练数据中完全移除y/b=0.65截面的实验数据后，多保真度模型依然能相当准确地预测该截面的压力分布，其误差远小于单保真度模型甚至原始的CFD计算结果。这表明CFD数据作为位置变量的额外信息源，有效地填补了实验数据的空间空缺，使模型学会了位置与压力分布的隐式物理关联。

最后，在最为复杂的变马赫数外推任务中，模型用Ma=0.7和Ma=0.88的数据进行训练，成功预测了Ma=0.84下的压力分布。模型不仅准确捕捉了压力系数的变化趋势，而且在激波位置和压力峰值的预测上明显优于单保真度模型。更为重要的是，与多保真度建模领域知名的协同克里金（cokriging）方法和简单的线性插值相比，本文提出的修正DNN模型在所有测试案例中均取得了最低的误差。其根本优势在于，DNN能够捕捉低-高保真度数据之间复杂且非线性的修正关系，而传统的协同克里金方法则受限于其线性相关性的假设。定量数据显示，对于测试案例D2exp，多保真度DNN模型的相对误差为15.89%，而协同克里金和线性插值的误差分别为17.90%和28.75%，优势明显。

五、研究结论与价值

本研究成功开发并验证了一种基于深度学习的多保真度气动分布数据融合框架。其核心结论有三点：第一，通过将CFD低低保真度数据作为软约束引入修正的均方误差损失函数，该方法能够为未知参数空间提供有效先验信息，从而避免模型在小样本条件下的过拟合；第二，所提出的模型在变工况、未知几何位置预测中，其泛化能力与预测精度均显著优于传统的单保真度模型；第三，对于外推任务或仅有极少量高保真度训练数据的困难场景，该模型依然能给出合理的预测结果，并且引入目标状态的CFD数据能进一步提升其高保真度解的预测能力。

该研究的科学价值在于，它为数据驱动的空气动力学建模提供了一种新的、高效的非线性多源数据融合范式，突破了传统方法在计算复杂度与线性假设上的局限。其潜在的应用价值巨大，能够显著降低飞行器气动设计对昂贵风洞实验的依赖，为飞行器初步设计和优化迭代提供一种兼具效率与精度的新型数值实验手段。

六、研究亮点

本研究的亮点主要体现在三个方面。其一， 方法创新性强：巧妙地将机器学习领域的重加权策略应用于气动建模，通过一个简单而优雅的修正损失函数，实现了多保真度数据在DNN框架下的深度融合，这是本研究最核心的贡献。其二， 问题挑战性高：研究聚焦于分布量而非集成量预测，这是一个因数据维度高而更具挑战性的问题，直接导致传统的多保真度方法在计算上变得极为困难，而本研究有效攻克了这一难点。其三， 结论论证严密：研究通过插值、外推、小样本、未知位置、变马赫数等一系列系统性的测试，并引入了协同克里金等基准方法进行对比，全面而严谨地论证了所提出模型的优势和鲁棒性，为方法的可靠性提供了坚实的证据。