非线性非定常降阶模型在阵风载荷预测中的应用研究

作者及发表信息

本研究的作者为P. Bekemeyer、M. Ripepi、R. Heinrich和S. Görtz，均来自德国航空航天中心（DLR, German Aerospace Center）。该研究发表于《AIAA Journal》2020年5月第57卷第5期，DOI编号为10.²⁵¹⁴⁄₁.j057804。

学术背景

研究领域

本研究属于计算流体力学（CFD, Computational Fluid Dynamics）与气动弹性的交叉领域，聚焦于阵风载荷预测（gust-load prediction）问题，具体涉及非线性非定常降阶模型（ROM, Reduced-Order Model）的开发与验证。

研究动机

在飞机设计与适航认证过程中，需计算大量阵风载荷工况。工业界目前主要依赖线性势流方法（如双晶格法DLM），但该方法在跨声速飞行条件下（现代大型客机的典型巡航状态）存在明显局限性：
1. 无法捕捉非线性气动效应（如激波诱导分离）；
2. 当前通过修正因子引入稳态非线性效应的方法依赖经验，且无法处理动态非线性。
尽管高精度CFD方法（如非定常RANS模拟）能解决上述问题，但其计算成本在工业级多参数优化场景中难以承受。因此，开发兼顾精度与效率的降阶模型成为研究核心目标。

研究目标

本研究提出一种基于最小二乘残差最小化（least-squares residual minimization）的非线性非定常ROM，并与现行工业标准——线性频域方法（LFD, Linearized Frequency-Domain Method）对比，旨在：
1. 验证ROM在跨声速条件下捕捉动态非线性的能力；
2. 评估ROM在全局系数、截面力、分布载荷等关键指标上的预测精度；
3. 量化ROM相对于全阶模型（FOM, Full-Order Model）的计算效率提升。

研究方法与流程

1. 理论框架

（1）控制方程

采用半离散化残差形式的RANS方程：
$$ \omega \frac{\partial \mathbf{w}(t)}{\partial t} + \mathbf{R}(\mathbf{w}(t), \mathbf{v}_g(t)) = 0
$$
其中$\mathbf{w}$为守恒变量向量，$\mathbf{v}_g$为阵风扰动速度，$\omega$为对偶网格单元体积。

（2）非线性ROM构建

• 模态基生成：通过本征正交分解（POD, Proper Orthogonal Decomposition）对训练数据集（来自FOM的瞬态流场快照）进行降维，保留前$r$阶模态（$r \ll n$）。
  
• 残差最小化：在POD子空间中，通过Levenberg-Marquardt算法迭代求解非线性残差的最小二乘问题，更新POD系数$a(t)$。
  
• 超减基技术：采用加速贪婪缺失点估计法（accelerated greedy MPE）选择空间子集（如5%网格点），仅计算选定点的残差以降低计算成本。
  

（3）LFD方法对比

线性化RANS方程在频域求解，假设动态线性响应，通过傅里叶叠加重构时域解。

2. 研究对象与参数

（1）测试案例

• 跨声速翼型：Future Fast Aeroelastic Simulation Technologies（FFAST）翼型，马赫数0.754，攻角1.41°，网格规模63,000点。
  
• NASA CRM机翼：半模构型，马赫数0.86，网格规模700万点。
  

（2）阵风模型

采用1-cos离散阵风，长度$Lg$与振幅$v{gz}$依据CS-25适航标准设定，涵盖线性与非线性响应区间。

3. 计算设置

• FOM求解器：DLR-TAU代码（RANS+Spalart-Allmaras湍流模型），中央格式离散，双时间步推进。
  
• ROM实现：基于Python的SMARTY工具箱，耦合DLR-TAU进行残差评估。
  
• LFD求解：矩阵形成法+广义最小残差（GMRES）迭代器，30个折减频率采样。
  

主要结果

1. 翼型案例验证

（1）动态非线性捕捉

• 短阵风（$Lg/C{ref}=2.26$）：ROM与LFD均能准确预测升力系数响应（动态线性主导）。
  
• 长阵风（$Lg/C{ref}=26.41$）：LFD因忽略激波诱导分离而高估最大升力系数20%；ROM则精确匹配FOM的分离迟滞效应（图4）。
  

（2）超减基影响

保留5%网格点的ROM仍能保持全局载荷精度（图7），但局部再附着过程预测稍弱，说明分离流动对空间分辨率更敏感。

2. NASA CRM验证

（1）表面压力分布

ROM在机翼激波位置预测上与FOM一致（误差%），而LFD因线性假设产生非物理压力峰值（图10）。

（2）计算效率

• 离线阶段：ROM训练（1次FOM模拟+POD基生成）耗时≈1.14倍FOM；LFD频域采样耗时1.42倍FOM。
  
• 在线阶段：ROM预测单次阵风响应耗时0.29–0.48倍FOM，LFD近乎零成本（仅傅里叶重构）。
  

结论与价值

科学意义

1. 方法创新：首次将POD基非线性残差最小化ROM应用于工业级气动弹性问题，证实其在动态非线性场景中的优越性。
   
2. 理论贡献：提出加速贪婪MPE与Broyden伪Hessian更新策略，显著提升超减基效率（复杂度从$O(nr^3)$降至$O(nr^2)$）。
   

工程价值

1. 适航认证：为跨声速阵风载荷分析提供高精度替代工具，减少依赖保守的线性方法。
   
2. 设计优化：ROM支持快速多参数扫描，有望集成于MDO（多学科优化）框架。
   

研究亮点

1. 动态非线性建模：ROM首次在CRM尺度验证了激波分离的瞬态捕捉能力。
   
2. 工业适用性：基于现有CFD软件（DLR-TAU）的耦合方案，便于工程移植。
   
3. 开源工具链：SMARTY工具箱公开提供ROM构建模块，促进社区应用。
   

未来方向

1. 扩展至气动弹性耦合分析（如结构自由度集成）；
   
2. 探索非线性模态基（如ISOMAP）以进一步提升降维效率；
   
3. 深化超减基与CFD求解器的底层融合，实现残差计算的局部化。
   

（注：文中所有公式与图表索引均与原文献一致，此处从略。）