非线性动力系统几何非线性结构模型降阶方法综述
本文由Cyril Touzé（法国巴黎综合理工学院）、Alessandra Vizzaccaro（英国布里斯托大学）和Olivier Thomas（法国里尔Arts et Métiers理工学院）共同撰写，发表于2021年7月的《Nonlinear Dynamics》期刊（Volume 105, Issue 2）。作为一篇系统性综述，文章聚焦于几何非线性结构（geometrically nonlinear structures）的模型降阶（Model Order Reduction, MOR）方法，重点探讨基于不变流形理论（invariant manifold theory）的非线性技术。
几何非线性是薄壁结构（如梁、板、壳）在大振幅振动时表现出的核心特性，其特点是所有自由度通过非线性耦合相互关联。传统线性降阶方法（如模态叠加法）在几何非线性场景下面临两大挑战：(1) 非线性动力学导致的复杂解（如分岔、混沌）；(2) 分布式非线性耦合要求降阶基必须包含大量高频模态，导致计算成本激增。本文旨在回顾非线性降阶方法，尤其是通过非线性映射（nonlinear mapping）而非线性基扩展的不变流形（invariant manifold）技术，为工程计算提供高效、预测性强的降阶模型框架。
文章首先区分了两类几何非线性模型： - von Kármán族模型：通过截断膜应变（membrane strain）的二次项，简化描述膜-弯曲耦合（membrane-bending coupling），适用于轴向约束结构（如固支梁）。其控制方程（如式1-2）显示立方项导致硬化行为（hardening behavior）。 - 几何精确模型（如式4）：考虑大旋转的未截断非线性项，包含曲率效应和轴向惯性非线性，可呈现软化行为（softening behavior）。实验数据表明，这类模型在旋转幅度超过30度时不可或缺。
支持证据：通过对比固支梁与悬臂梁的动力学响应（图2），作者阐明轴向约束如何影响非线性类型——固支梁因膜力耦合呈现硬化，而悬臂梁因惯性主导出现软化。
不变流形是相空间中动力学不变的子集，其核心价值在于： - 自动俘获非共振耦合：通过流形曲率隐含高频模态的贡献，无需显式包含这些模态（如式23显示从模态系数(g^s_{mm})直接推导二次项）。 - 数学严谨性：Lyapunov子中心流形（LSM）理论保证保守系统周期轨道的存在性；而谱子流形（SSM）理论扩展至耗散系统（见第3.4节）。
对比分析：与传统线性方法（如POD）需预计算数据不同，不变流形方法通过解析推导直接构建降阶模型（ROM），避免了“试错式”基扩展（第2.3节）。
作者系统比较了两种流形参数化方法： - 图式风格（graph style）：通过PDE描述流形几何（如式21），采用渐进展开（如式22）或数值求解（图4）。其局限在于无法处理流形折叠。 - 规范形式风格（normal form style）：通过非线性坐标变换（如式28）消除非共振项，保留“骨架动力学”（如式29）。该方法可处理内共振（internal resonance），但计算复杂度较高。
案例验证：图5展示圆柱壳在1:1内共振下的频率响应曲线（FRF），规范形式ROM仅用2个主坐标即可预测Neimark-Sacker分岔和准周期解，与全阶模型吻合。
针对工程中主流的有限元（FE）离散（式6），文章提出两类方法： - 模态导数（modal derivatives）：通过应力流形投影（第4.3节）构建二次流形，近似不变性。 - 直接物理空间计算（第4.4-4.5节）：从FE节点位移出发，避免显式模态分解，适用于百万自由度模型。
创新点：图3通过数值延拓展示了1:3内共振导致的流形折叠现象，揭示了振幅依赖性主模态选择的重要性。