本研究的作者为Marcel Marohn与Benjamin R. Auer。作者机构包括德国耶拿弗里德里希·席勒大学金融学教席（Friedrich Schiller University Jena）、德国莱比锡大学金融系（University of Leipzig）以及慕尼黑CESifo研究网络的宏观、货币与国际金融研究领域（CESifo Munich）。这项研究于2025年发表在学术期刊《Economics Letters》第256卷上，文章编号为112561。
研究背景与动机 本研究属于金融投资组合理论与可持续金融的交叉领域。其学术背景根植于哈里·马克维茨（Markowitz）于1952年提出的均值-方差（Mean–Variance, M–V）投资组合优化框架，该框架是现代金融理论的基石。尽管过去几十年该理论受到诸多批评，但近年来的研究为其进行了“平反”，指出许多批评并不成立，例如其应用并不必然要求资产收益率服从正态分布，且基于更复杂风险度量的模型在小样本中更为脆弱。这使M–V优化框架的性质研究变得比以往任何时候都更重要。在最优风险资产组合的有效前沿（efficient frontier）上，全球最小方差投资组合（Global Minimum Variance Portfolio， GMVP）因其诸多优良特性（如可通过直观的线性回归技术计算权重、能减少对预期收益率输入的估计误差、能捕捉低风险异象等）而备受关注，成为许多投资管理应用中的焦点。
与此同时，投资者对可持续投资产品的需求日益增长。为了将企业可持续发展（通常以ESG评分等形式量化）整合到投资决策中，近期的金融研究开始将资产评分纳入投资组合优化。一种主流思路是在传统的M–V优化框架中，增加一个对投资组合可持续性评分的约束条件，即投资者在满足预设可持续性水平的前提下，寻找M–V最优的投资组合。这种新视角自然引出了一个核心问题：在引入可持续性约束后，经典的GMVP会受到怎样的影响？其最优权重公式为何？
本研究正是为了回答这一问题而进行的。具体而言，本研究旨在：1）在均值-方差优化框架下，推导出带有可持续性约束的全球最小方差投资组合（Sustainability-constrained GMVP, SGMVP）的显式权重公式；2）确定可持续性约束要产生影响所必须满足的临界边界；3）提供重要的两资产优化案例的解析表达式；4）通过一个补充性的实证应用，说明有效约束对投资绩效和投资组合构成的影响。本研究延伸了Pedersen等人（2021）的工作，因为他们的研究聚焦于约束下的切线投资组合（tangency portfolio），并未提供对应优化问题的闭式解。
详细研究流程与方法 本研究主要包括理论推导与实证说明两大部分。
第一部分：理论模型的构建与推导 研究首先建立了一个经典的投资组合选择模型。考虑一个包含n种风险资产的投资领域，资产i的随机收益率为𝑅𝑖，其期望值向量为𝜇，方差-协方差矩阵为𝛴（假设为正定矩阵）。投资组合权重向量为𝑤，满足全投资约束1^𝑇 𝑤 = 1，并且允许卖空（即权重可为负）。
在标准的均值-方差优化问题（OMV）中，投资者寻求在方差𝜎²_𝑝和期望收益𝜇_𝑝这两个冲突目标下的帕累托有效解。而全球最小方差投资组合（GMVP）是有效前沿上风险（方差）最小的点，可通过求解一个标量优化问题（OV）得到。
本研究的核心是修改上述标准问题，引入可持续性约束。假设每种资产i拥有一个可持续性评分𝜈𝑖，投资组合的可持续性评分定义为𝜈_𝑝 = 𝜈^𝑇 𝑤。要求投资组合评分不低于一个预设的最低水平𝜗，则得到带约束的优化问题（OMV|S）。相应地，约束下的全球最小方差投资组合（SGMVP）可通过求解问题（OV|S）获得。
研究的主要理论工作是通过严格的数学推导，求解问题（OV|S）。这是一个带线性不等式约束（𝜈^𝑇 𝑤 ≥ 𝜗）和线性等式约束（1^𝑇 𝑤 = 1）的凸优化问题。研究团队运用拉格朗日乘子法和卡鲁什-库恩-塔克（Karush-Kuhn-Tucker, KKT）条件来求解。关键的数学工具涉及对正定协方差矩阵𝛴求逆，并定义了几个关键标量：𝑥 = 1^𝑇 𝛴^(−1) 1, 𝑦 = 𝜈^𝑇 𝛴^(−1) 1, 𝑧 = 𝜈^𝑇 𝛴^(−1) 𝜈。研究过程中，一个重要引理证明了在资产评分不全相同的条件下，𝑥𝑧 − 𝑦² > 0 恒成立，这确保了后续推导中分母的有效性。
第二部分：理论结果的阐述与两资产特例 基于上述推导，研究得出了核心定理（Theorem 2.1）。该定理给出了SGMVP的显式权重公式。公式是一个分段函数：
同时，定理指出，SGMVP提供的投资组合评分恰好等于𝜗（当约束有效时），否则等于𝜗_min。这意味着，只有当投资者设定的可持续性要求𝜗高于标准GMVP自身的可持续性评分𝜗_min时，约束才会真正改变投资组合的权重。 如果要求低于或等于该临界值，投资者直接选择标准GMVP即可，无需进行额外计算。这一发现为实践者提供了一个清晰的决策边界。
此外，研究还针对金融研究和教学中极其重要的两资产案例，给出了具体的权重公式（Corollary 2.3）。在约束有效（𝜗 > 𝜗_min）的情况下，有趣的是，SGMVP的权重公式中完全不包含资产的风险（方差𝜎²₁, 𝜎²₂）和相关性（𝜌），而完全由资产评分和预设的组合评分决定：𝑤₁ = (𝜗 − 𝜈₂)/(𝜈₁ − 𝜈₂)， 𝑤₂ = (𝜈₁ − 𝜗)/(𝜈₁ − 𝜈₂)。这直观地表明，在仅有两项资产且约束有效时，最优的风险最小化组合完全由满足评分要求的线性配比决定，与资产的风险特征无关。只有当约束无效时，权重才回归到考虑方差和相关性后的经典GMVP公式。
第三部分：实证说明与分析 为了直观展示理论结果，并探讨在实际中更可能出现的“禁止卖空”情形下的影响，研究进行了一个实证说明。
主要研究结果 1. 理论结果得到验证：实证中计算出的临界值𝜗_min约为70.66。当𝜗=70时（小于𝜗_min），SGMVP与GMVP完全重合，月度收益标准差均为2.5091%。当𝜗提高至75、80等高于𝜗_min的值时，SGMVP在有效前沿图上明显向右（高风险方向）移动，证实了为获得更高可持续性需要承担更高风险的理论预期。 2. 卖空限制加剧了约束的影响：对比图2(a)（允许卖空）和图2(b)（禁止卖空）可以发现，在禁止卖空的情况下，可持续性约束对有效前沿的扭曲效应更加显著。前沿整体收缩、变得平坦并向东南方向移动。特别是SGMVP的风险（标准差）上升幅度远大于允许卖空的情形。这说明投资灵活性（卖空）的丧失，放大了为追求可持续性而付出的风险代价。 3. 组合绩效与构成的具体变化（详见表1）： * 允许卖空时（Panel A）：随着𝜗从71提高到93，SGMVP的夏普比率从0.5926逐渐下降至0.5403，投资组合集中度（HHI）从0.4492上升至0.7278。组合始终包含全部47只股票，但极端权重（最小负权重和最大正权重）的绝对值随着𝜗提高而增大。 * 禁止卖空时（Panel B）：影响更为剧烈。夏普比率从0.3975大幅下降至0.1825，HHI从0.1035激增至0.7337。更关键的是，组合的分散度严重恶化：标准GMVP（无有效约束时）仅持有13只股票；而当𝜗提高到93时，SGMVP仅持有2只股票。这表明，在不能卖空的情况下，高可持续性要求会迫使投资组合高度集中于少数高评分股票，导致风险分散效益急剧丧失，绩效大幅下滑。
研究结论与意义 本研究得出结论，为具有可持续性偏好的最小方差投资者提供了一种清晰的两步投资方法：第一步，计算标准GMVP及其可持续性评分。如果投资者对该评分满意，则可直接投资于此组合。如果希望获得更高的可持续性，则进行第二步，利用本研究推导出的公式，计算能够满足其评分要求且方差最小的投资组合（即SGMVP）。然而，投资者必须意识到，追求更高的可持续性需要牺牲金融绩效（如更高的风险和更低的夏普比率）和投资组合分散化。这种牺牲的程度，取决于投资者是否被允许进行卖空操作。
本研究的科学价值在于： 1. 理论贡献：首次在均值-方差框架下，为带有可持续性约束的全球最小方差投资组合问题提供了完整的闭式解（closed-form solution），并明确了约束生效的临界条件。这填补了该领域的一个理论空白，完善了可持续投资组合优化的理论工具箱。 2. 应用价值：给出的解析公式使投资者和资产管理人能够快速、精确地计算SGMVP，无需依赖复杂的数值优化软件。明确的临界值𝜗_min具有直接的实践指导意义，帮助投资者判断何时有必要启动约束优化。 3. 重要洞见：研究揭示了卖空限制与可持续性约束之间的重要交互作用。在现实世界中许多投资者不能或不愿卖空的情况下，本研究警告，叠加高可持续性要求可能导致投资组合极度集中和绩效严重恶化，这一发现对产品设计和风险管理具有重要警示意义。
研究亮点 1. 重要的理论发现：推导出了SGMVP的显式权重公式及约束生效的临界边界，这是本研究最核心的贡献。 2. 方法的通用性：作者指出，本研究的结果可直接推广到任何其他形式的线性投资组合约束（如基于流动性、财务困境概率等指标的约束），只需将可持续性评分向量𝜈替换为其他经济指标向量即可（见Remark A.3）。这大大扩展了本研究的适用范围。 3. 对经典两资产案例的完善：明确给出了两资产情况下SGMVP的权重公式，并揭示了在约束有效时权重与风险参数无关的简洁性质，这对于教学和理解问题本质很有帮助。 4. 实证设计的针对性：实证部分不仅验证了理论，还专门探讨了“禁止卖空”这一更贴近多数个人投资者和部分机构投资者实际情况的场景，揭示了理论在受限环境下的实际后果，增强了研究的现实意义。 5. 对现有研究的补充与修正：研究指出了在优化中使用等式约束（而非不等式约束）可能带来的经济不合理性（见Remark 2.2），对相关文献的方法论进行了有益的讨论和完善。
其他有价值的补充 附录部分包含了定理和推论的详细证明过程，展现了研究的严谨性。附录A.2专门讨论了在允许和禁止卖空两种情况下，投资组合评分可能取值的范围，并深入分析了临界值𝜗_min与资产最低评分𝜈_min之间的关系，指出在允许卖空时，GMVP的评分有可能低于所有资产中的最低评分，这进一步凸显了卖空操作对组合构建特性的深刻影响。