论作为几何学基础的假设
本文是Bernhard Riemann于1854年6月10日在哥廷根皇家科学学会的哲学系为获得大学授课资格（habilitation）而举行的答辩会上宣读的论文，并于1868年（原文标注为第十三卷）发表在哥廷根皇家科学学会论文集上。
本文的核心议题是探究几何学的基础，特别是空间概念的本质。黎曼指出，传统几何学将空间概念及其基本构造视为先验给定，仅提供名义定义，而将实质性规定以公理形式呈现。这些前提之间的关系及其必要性与可能性，从欧几里得到勒让德，都未得到澄清。黎曼认为，其根源在于对“多重延展量”这一普遍概念的探讨尚属空白。因此，他为自己设定的首要任务是：从普遍的“量”的概念出发，构建“多重延展量”的概念。由此将揭示，一个多重延展量可以具有不同的度量关系，而空间仅仅是三维延展量的一个特例。其必然推论是：几何学的命题无法从普遍的量的概念中推导出来；那些使空间区别于其他可想象的三维延展量的属性，只能从经验中获得。这就引出了本文的核心目标：寻找最简单的事实，用以确定空间的度量关系。黎曼强调，这个任务本身并非完全确定，因为可以提出多个简单事实的体系来达成此目的，其中最著名的便是欧几里得所建立的体系。这些事实并非必然，只具有经验上的确定性，它们是假设（Hypothesen）。因此，可以研究它们在观测范围内的概率，并据此判断将其推广到观测范围之外（无论是无限大还是无限小尺度）的合理性。
论文的主要论点与论证结构
一、n重延展量的概念 黎曼首先在哲学和概念层面奠定了理论基础。他区分了连续流形（stetige Mannigfaltigkeit） 和离散流形（discrete Mannigfaltigkeit）。连续流形中，从一个确定方式到另一个存在连续过渡（如颜色、位置），其元素称为“点”；离散流形则不存在这种连续过渡（如概念的分类）。空间属于连续流形。
他进一步阐述了如何构造n重延展流形：从一重延展（线）开始，通过以特定方式将其“转移”到另一个完全不同的流形中（即每个点映射到新流形中的一个确定点），可以得到二重延展流形（面）。以此类推，可以构造任意n重延展流形。反之，一个n重延展流形中的位置确定，可以通过引入一个连续函数，分解为一个量值确定和一个低维（n-1维）流形中的位置确定。经过n次这样的过程，最终可将n维流形中的位置确定归结为n个量值确定。这构成了n重延展流形的本质特征。
二、n维流形所能具备的度量关系（假设线独立于位置具有长度） 这是论文的数学核心。黎曼在第二部分引入了具体的度量结构。他假设：线的长度独立于其位置（即任何线都可用任何其他线来测量）。在n维流形中，用坐标(x^1, x^2, …, x^n)描述点的位置，一条线由这些坐标作为单一变量的函数给出。目标是建立线元长度(ds)的数学表达式。
他做了两个关键限制：1) 考虑(dx)（坐标的微分）之比连续变化的线；2) 假设线元长度在流形经历无穷小位移时保持不变（即具有平移不变性），且当所有(dx)按相同比例变化时，(ds)也按此比例变化。在这些假设下，(ds)必须是(dx)的一次齐次函数，且系数是坐标的连续函数。为了寻求最简单的形式，他进一步假设从线元起点出发、距离相等的点构成一个(n-1)维曲面，该距离函数在起点取极小值，且其二阶微分恒正。由此推导出，(ds)可以表示为(dx)的一个恒正二次齐次式的平方根： [ ds^2 = \sum{i,j} g{ij} dx^i dx^j ] 其中系数(g_{ij})是坐标的连续函数，并构成一个对称张量（即后来的黎曼度量）。欧几里得空间（(ds^2 = \sum (dx^i)^2)）是其中最特殊的一种情况。
黎曼指出，通过坐标变换可以改变度量的表达形式，但无法将任意度量化简为欧几里得形式。决定一个n维流形度量关系所需的独立函数个数是(\frac{n(n-1)}{2})个，这些函数由流形本身的“本性”决定。他将能够将(ds^2)表示为全微分平方和（即(g{ij} = \delta{ij})）的流形称为平的（eben）。
为了更内蕴地刻画流形的弯曲程度，黎曼引入了曲率度量（Krümmungsmass）的概念。他通过构造从一点出发的测地线（最短线），并分析无穷小测地三角形的性质，定义了一个与坐标选择无关的量。在二维曲面情形，这个量乘以(-\frac{3}{4})就等于高斯曲率（Gauss’sche Krümmung）。对于一般的n维流形，需要在每一点的(\frac{n(n-1)}{2})个独立的曲面方向（二维截面）上给出曲率度量，才能完全确定其度量关系（只要这些值之间不存在恒等关系）。
黎曼特别研究了常曲率流形，即曲率度量在每点、所有方向都相同的流形。这类流形的特点是：图形可以在其中无伸缩地运动（即具有最大程度的对称性）。其线元表达式可以写为： [ ds = \frac{\sqrt{\sum dx^2}}{1 + \frac{\alpha}{4} \sum x^2} ] 其中(\alpha)是常数曲率。当(\alpha=0)时，即为平坦（欧几里得）空间；(\alpha>0)对应球面型空间；(\alpha)对应双曲型（伪球面型）空间。他以二维曲面为例，直观地说明了这三种常曲率曲面的几何形象（球面、圆柱面、伪球面）及其性质差异。
三、应用于空间 在前两部分理论构建的基础上，黎曼将他的理论应用于物理空间。
确定空间度量关系的条件：如果假设线的长度独立于位置，且线元可表示为二次微分形式的平方根（即在无穷小范围内是“平”的），那么要确定空间的度量关系，只需满足：在每一点的三个独立的曲面方向上，曲率度量均为零。这等价于要求所有三角形的内角和等于两直角。如果进一步像欧几里得那样，不仅假设线，而且假设刚体的存在与位置无关（即图形可以自由移动而不变形），则曲率必须在所有地方都是常数。此时，只要在一个三角形中确定了内角和，所有三角形的内角和就都确定了。
对无限大尺度的思考：黎曼区分了空间的无界（Unbegrenztheit） 和无限（Unendlichkeit）。无界属于延展关系，无限属于度量关系。空间作为三维延展流形是无界的（这一假设在经验中不断被证实），但这并不必然导致无限。如果空间具有恒定的正曲率（对应于刚体独立于位置的假设），那么空间将是有限但无界的，类似于球面。
对无限小尺度的思考：黎曼认为，关于无限小尺度的问题对于解释自然至关重要，因为对现象因果关系的认识，依赖于我们在无穷小尺度上追踪现象的精确性。他指出，我们建立空间度量关系的经验概念——刚体和光线——在无穷小尺度上可能失效。因此，空间在无穷小尺度上的度量关系很可能并不符合几何学的传统假设（即欧几里得假设），如果这样能更简单地解释现象，我们就必须接受这一点。这直接联系到空间度量关系的“内在根据”问题：对于离散流形，度量原则已包含在流形概念本身；对于连续流形，度量原则必须从外部（如作用于其上的束缚力）寻找。这个问题的答案只能从以牛顿力学为基础、并被经验验证的现象观出发，逐步修正。
论文的意义与价值
开创了现代微分几何：黎曼首次系统地阐述了高维弯曲空间的内蕴几何学，将高斯关于曲面的内蕴几何推广到任意维数。他引入的度量张量(ds^2)和曲率概念，成为后世微分几何、广义相对论乃至现代理论物理学的基石。
颠覆了经典空间观：黎曼明确将空间的几何性质（度量关系）与它的拓扑/延展性质分离，并指出前者并非先验必然，而是基于经验假设（如刚体的自由移动性）。这从根本上动摇了康德关于空间是纯粹先验直观形式的哲学观点，将几何学从绝对真理的神坛拉回经验科学的领域。
预言了非欧几何的物理可能性：他不仅从数学上统一处理了欧氏、球面（椭圆）和双曲几何，更明确指出物理空间可能具有非零的常曲率（有限无界），甚至在微观尺度上可能具有复杂变化的曲率。这为后来爱因斯坦的广义相对论（将引力诠释为时空曲率）提供了直接的数学框架和哲学启示。
提出了深刻的科学哲学问题：黎曼在文末将几何学基础问题与物理学联系起来，指出对微观几何结构的探索依赖于物理理论的发展。他预见到，对空间本质的理解最终将超越纯粹的数学推理，进入物理学的领域，这体现了其思想的前瞻性和跨学科深度。
方法论上的创新：论文采用了从普遍概念（多重延展量）出发，逐步附加特殊条件（度量结构、平坦性假设、常曲率等）来构建理论体系的方法。这种“从一般到特殊”的公理化、内蕴化的研究范式，对现代数学和理论物理学产生了深远影响。
亮点 * 核心概念的提出：n维黎曼流形、黎曼度量、截面曲率、常曲率空间。 * 关键论断：几何学命题非先验，空间度量关系源自经验假设；空间可以是有限无界的；微观几何可能偏离欧几里得几何。 * 理论深度与前瞻性：在19世纪中叶，成功地将几何、分析与物理哲学深刻融合，其思想直接孕育了半个多世纪后物理学最伟大的革命之一——广义相对论。 * 清晰的层次结构：从哲学与概念分析，到抽象的数学构建，再到具体的物理空间应用，逻辑严密，层层递进。
这篇论文篇幅虽短，但思想密度极高，它不仅是数学史上的一座丰碑，也是科学思想从经典迈向现代的关键转折点。黎曼在其中展现的深邃洞察力和宏伟的数学架构能力，使其成为科学文献中不朽的经典。