三维电阻率反演中有限元方法的应用研究

作者及发表信息
本文由Yutaka Sasaki（九州大学采矿工程系）完成，发表于地球物理学领域期刊《Geophysics》1994年12月刊（第59卷第11期，页码1839-1848）。

学术背景
传统电阻率数据解释通常假设地质结构为一维（1-D）或二维（2-D），但实际地质构造多为三维（3-D），简化模型可能导致信息失真。随着计算机性能提升，基于数值模拟的三维反演技术成为可能。本研究旨在开发两种三维电阻率反演算法——全反演（full inversion）和近似反演（approximate inversion），结合有限元法（finite-element method）和迭代最小二乘法，以高效解决复杂三维结构（包括地形效应）的反演问题。

研究流程与方法
1. 算法设计
- 全反演：通过有限元法精确计算视电阻率对模型电阻率的偏导数（partial derivatives），利用互易性（reciprocity）原理优化计算效率。
- 近似反演：将偏导数近似为均匀半空间（homogeneous half-space）的导数，显著降低计算时间和内存需求。
- 模型参数化：将地质模型划分为恒定电阻率的块体（blocks），通过平滑约束（smoothness constraints）解决反演的病态问题（ill-posed problem）。

1. 有限元正演模拟

   • 网格构建：采用六面体单元（hexahedra）划分三维空间，支持地形起伏（图1）。
     
   • 方程求解：通过泊松方程（Poisson’s equation）描述电势分布，使用逐次超松弛迭代法（successive overrelaxation method）求解大型稀疏矩阵。
     
   • 灵敏度分析：计算均匀半空间中的灵敏度分布（图2），验证三维数据采集的必要性。
     

2. 数值实验验证

   • 平坦地形模型（图3）：包含5个棱柱体（电阻率5–1000 Ω·m），生成819个视电阻率数据点。
     
     • 全反演结果（图7）：清晰识别近地表异常体，深部低阻体分辨率较低，但优于二维反演（图5）。
       
     • 近似反演结果（图6）：计算效率更高，但对局部特征的敏感性较弱。
       
   • 地形影响模型（图12）：包含山体及三个异常体，近似反演需先进行地形校正（terrain correction）。全反演直接融合地形网格，结果更精确（图14）。
     

主要结果
1. 分辨率对比：全反演对近地表特征的分辨率显著优于近似反演（图6 vs 图7），因前者偏导数对局部电阻率变化更敏感。
2. 计算效率：近似反演CPU时间减少22%（65分钟 vs 83分钟），内存需求降低27%（19.0 MB vs 26.0 MB）。
3. 模型适应性：即使块体边界与真实构造未对齐（图9），两种方法仍能近似恢复三维结构（图10–11），验证了算法的鲁棒性。

结论与价值
1. 科学价值：首次实现基于有限元法的三维电阻率全反演与近似反演，为复杂地质结构解释提供新工具。
2. 应用价值：全反演适用于高精度勘探（如浅层资源评估），近似反演适合大规模数据快速处理。
3. 技术突破：通过互易性原理优化偏导数计算，结合地形自适应网格，解决了传统方法无法处理三维地形的难题。

研究亮点
1. 创新算法：提出基于均匀半空间导数的近似反演，显著降低计算成本。
2. 跨学科融合：将有限元法与地球物理反演结合，支持复杂地形建模。
3. 实证验证：通过合成数据（synthetic data）系统对比全/近似反演性能，为实际应用提供选择依据。

其他发现
- 迭代次数与误差关系（图8）：全反演的RMS误差（10%）高于近似反演（8%），但模型分辨率更优，表明高精度正演求解对提升分辨率至关重要。
- 未来方向：开发更高效的矩阵求解算法（如不完全Cholesky共轭梯度法，ICCG），进一步缩短计算时间。

（注：专业术语如“finite-element method”首次出现时标注英文，后续使用中文表述。）