一、研究基本信息

本项研究由陈浈斐1、邢宁1、马宏忠1、李志新2、章黄勇1合作完成。研究团队主要来自河海大学能源与电气学院（1），以及国网江苏省电力有限公司营销服务中心（2）。该研究以题为《分数槽永磁电机永磁体谐波涡流损耗建模与分析》的论文形式发表，刊载于Transactions of China Electrotechnical Society（电工技术学报） 第37卷第14期，发布日期为2022年7月。

二、学术背景与研究目标

本研究聚焦于分数槽永磁（Fractional Slot Permanent-Magnet, FSPM）电机设计与优化领域，具体针对其运行时一个关键挑战——永磁体谐波涡流损耗。分数槽永磁电机因其绕组端部短、槽利用率高、齿槽转矩低等优点，在风力发电与电动汽车等高效率高功率密度应用场景备受关注。然而，其电枢电流产生的磁场含有丰富的高幅值空间谐波。这些谐波磁场相对于转子高速旋转，会在永磁体中感应出显著的涡流，导致转子发热、效率降低，甚至引发永磁体不可逆退磁，严重威胁电机可靠性。

为了抑制这种涡流损耗，业界探索了多种方法，包括采用双三相（Dual Three-Phase）绕组和四层（Four-Layer）绕组结构。现有研究（如文献[7-10]）表明，这两种绕组结构能有效抑制特定谐波磁场，从而降低转子涡流损耗。然而，现有研究主要依赖有限元（Finite Element, FE）仿真进行验证，虽然结果有效，但仿真模型无法直观揭示“涡流损耗”与“电枢磁场中各次空间谐波分量”之间的精确映射关系。这种关系的缺失，使得研究人员难以系统地、从根本上指导绕组结构的优化设计，不清楚应重点抑制哪些阶次的谐波才能最有效地降低损耗。

因此，本研究旨在填补这一空白，其核心目标是：建立适用于不同绕组结构（三相/双三相、双层/四层）的分数槽永磁电机永磁体谐波涡流损耗解析模型。通过该模型，不仅能精确计算总损耗，更能分解并量化各次空间谐波磁场单独产生的涡流损耗（即谐波涡流损耗），从而深入探究谐波涡流损耗随绕组相数和层数变化的规律，并从磁动势（Magnetomotive Force, MMF）机理上解释该规律，为通过优化绕组结构来抑制涡流损耗提供明确的理论指导和设计思路。

三、研究方法与工作流程

本研究采用了理论建模、解析推导与有限元验证相结合的研究路径，工作流程细致严谨，包含以下几个核心步骤：

第一步：建立四层绕组电流密度模型与电机子域模型 为了实现通用化建模，研究首先提出了一种创新的四层绕组电流密度建模方法。该方法将传统子域模型中的单个槽身导体区域，进一步划分为上层绕组区域和下层绕组区域。通过定义这两层区域内不同的电流密度分布（(j{i1}, j{i2}) 和 (j{i3}, j{i4})），并利用傅里叶级数展开，该方法能够统一表征三相/双三相（通过电流相位分布控制）、双层/四层（通过上下层电流密度是否相等控制）等多种绕组结构。整个求解区域被划分为五个子域：永磁体区域、气隙区域、上层绕组区域、下层绕组区域、定子槽口区域。

第二步：基于矢量磁位的子域模型建立与求解 在二维极坐标系下，研究基于麦克斯韦方程组，为每个子域建立了以矢量磁位z轴分量 (A_z) 表示的拉普拉斯/泊松偏微分方程。对于永磁体、气隙、槽口区域，方程是齐次的；对于上下层绕组区域，方程是非齐次的，其源项即为第一步中建立的电流密度函数。每个子域的解均表示为包含待定谐波系数的级数形式。

为了求解这些谐波系数，研究在各子域的交界面上施加了严格的边界条件，包括：磁通密度法向分量连续、磁场强度切向分量连续、矢量磁位连续。特别地，针对新引入的上层与下层绕组区域交界面，增加了相应的边界条件（式18）。最终，通过联立所有边界条件方程，构建并求解大型线性方程组，确定了所有子域磁场表达式的谐波系数，从而完成了静态电枢磁场的精确解析求解。

第三步：构建瞬态磁场与永磁体谐波涡流损耗解析模型 静态磁场模型仅能描述某一瞬间的磁场分布。为了计算转子旋转一个周期内的平均涡流损耗，研究设计了瞬态电枢磁场求解程序。其核心思想是：在转子旋转过程中，定子槽相对于转子位置不断变化，这等效于电流密度分布函数的空间相位随时间变化。通过将第二步求解得到的永磁体区域磁场谐波系数视为随时间（或转子位置）变化的向量，并对其进行时间傅里叶分解，得到了永磁体内磁场随时间变化的完整表达式。

随后，根据电磁感应定律和欧姆定律，由瞬态磁场推导出永磁体内的感应涡流密度分布。在计算中，通过引入积分常数项，确保了每块永磁体内部的总感应电流为零，这符合永磁体表面通常绝缘的物理实际。最后，通过在整个永磁体体积和一个电周期内对焦耳损耗密度进行积分平均，得到了平均涡流损耗的最终解析表达式（式33）。该表达式的关键创新在于，它可以进一步分解为各次空间谐波磁场（k阶）对各次时间谐波（l阶）贡献的损耗之和（式34-35），从而实现了谐波涡流损耗 (P_{ave}(k)) 的精确剥离与量化（式40）。

第四步：有限元仿真验证与案例对比分析 为了验证所建立解析模型的准确性，研究设计了四台具有相同定转子铁芯、永磁体及槽满率，仅绕组结构不同的10极12槽表贴式永磁电机作为研究对象。这四台电机分别是：绕组I（三相双层）、绕组II（双三相双层）、绕组III（三相四层）、绕组IV（双三相四层）。使用商业有限元软件对这四台电机在额定工况（额定电流、额定转速）下的气隙磁密分布和永磁体涡流损耗进行了仿真计算。

验证工作从两个层面展开： 1. 磁场验证：对比了t=0时刻，解析模型与有限元模型计算得到的气隙径向和切向磁通密度分布。结果显示，四种绕组结构下，解析解与有限元结果均高度吻合，特别是准确地捕捉到了齿槽效应引起的磁密波动尖峰，证明了磁场模型的精确性。 2. 损耗验证：对比了不同转速（固定电流）和不同电流（固定转速）下，解析模型与有限元模型计算的总永磁体涡流损耗。在整个测试范围内，两者结果吻合度极高，最大误差仅为2.5%，充分验证了所提出的谐波涡流损耗解析模型具有很高的工程精度。

四、主要研究结果

研究通过解析模型计算和有限元验证，获得了以下几项关键结果：

1. 模型准确性得到证实：如前所述，气隙磁密波形和总涡流损耗的解析解与有限元解高度一致，最大误差2.5%，证明了所提出的四层绕组子域模型及谐波涡流损耗解析算法的正确性和可靠性。

2. 揭示了特定极槽配合下的主导谐波损耗：以最基础的三相双层绕组（绕组I）为例，在额定工况下，其永磁体涡流损耗主要由少数几次空间谐波产生。其中，7次空间谐波造成的损耗占比高达79.8%，是最大的损耗源；1次空间谐波（即次谐波） 损耗占比为8.8%；17次和19次谐波也有显著贡献（分别为2.2%和5.7%）。而所有偶次谐波及3的整数倍次谐波（如3, 6, 9次等）产生的损耗为零，这与绕组磁动势理论分析完全一致。

3. 量化了绕组相数对谐波损耗的影响规律： * 当绕组从三相变为双三相（比较绕组I与II，绕组III与IV）时，1次、11次、13次、23次等（即 (k = 12v \pm 1, v=1,2,3…) 阶次）谐波涡流损耗显著降低至接近于零。这是因为双三相绕组中，两组相位差30°的绕组在这些阶次谐波上产生的磁动势相互抵消。 * 然而，对于7次、17次、19次等（即 (k = 12v \pm 5, v=1,2,3…) 阶次）谐波，其损耗反而增大了约7.2%。这是因为双三相绕组结构使得这些阶次谐波的绕组分布系数增大了。 * 综合效应是：对于以1次谐波损耗为主的三相双层绕组，改为双三相后总损耗下降；但对于已通过四层绕组大幅抑制了1次谐波的三相电机，改为双三相四层后，由于7次等谐波损耗未减少，总损耗可能略有上升。

4. 量化了绕组层数对谐波损耗的影响规律： * 当绕组从双层变为四层（比较绕组I与III，绕组II与IV）时，1次谐波涡流损耗急剧下降了93.3%。这是因为四层绕组的特殊排布方式（下层绕组是上层绕组逆时针旋转150°电角度）极大地削弱了1次谐波磁动势的幅值。 * 同时，对于7次、17次、19次等（(k = 12v \pm 5)）谐波，其损耗也下降了约6.7%。 * 因此，采用四层绕组能有效降低总涡流损耗。三相四层绕组（绕组III）在对比的四种结构中表现出最低的总涡流损耗。

5. 从磁动势机理上解释了变化规律：研究通过绘制不同绕组结构下各次谐波的线圈磁动势矢量图，清晰地阐明了上述损耗变化规律的物理本质。例如，解释了为何双三相能消除 (12v \pm 1) 次谐波（磁动势矢量反向抵消），以及四层绕组如何通过矢量合成减小1次和 (12v \pm 5) 次谐波的合成磁动势幅值（即分布系数变化）。这使得解析模型的结果不仅是一个数值结论，更具备了深刻的物理图像支撑。

五、研究结论与价值

本研究成功建立了一种能够精确计算双三相及四层绕组分数槽永磁电机永磁体谐波涡流损耗的通用解析模型。该模型突破了传统子域模型仅限于三相双层绕组的局限。基于该模型对10极12槽案例的深入分析，得出以下核心结论：

1. 主导谐波明确：对于10极12槽这类常用分数槽永磁电机，在其电枢磁场引起的永磁体涡流损耗中，7次空间谐波是绝对主要的贡献者，1次谐波次之。
2. 优化方向清晰：双三相绕组和四层绕组均是抑制1次谐波涡流损耗的有效手段，其中四层绕组的效果尤为显著。然而，这两种方法对占主导地位的7次谐波损耗抑制效果有限（四层略有降低，双三相反而增加）。
3. 未来设计指引：若想进一步显著降低分数槽永磁电机的永磁体涡流损耗，未来绕组优化研究的重点应聚焦于如何有效抑制电枢磁场中的7次及其同类（(12v \pm 5) 次）空间谐波。

本研究的价值体现在： * 科学价值：提出了创新的四层绕组子域建模方法，建立了首个能系统分解并量化谐波涡流损耗的通用解析框架，深化了对分数槽绕组谐波磁场及其损耗产生机理的认识。 * 工程应用价值：为电机设计工程师提供了强大的快速分析和设计工具。在电机设计初期，无需进行耗时的大量有限元仿真，即可预测不同绕组方案下的永磁体损耗频谱，从而有针对性地优化绕组设计，降低研发成本和周期，提升电机效率和可靠性。

六、研究亮点

1. 方法创新：提出了四层绕组电流密度建模方法，扩展了传统的磁路解析子域模型，使其能够统一处理三相/双三相、双层/四层等多种复杂绕组结构，这是本研究的核心理论贡献。
2. 模型深度：所建立的解析模型不仅计算总损耗，更实现了对永磁体谐波涡流损耗的“频谱分析”，能够精确分离出各阶空间谐波单独产生的损耗分量，这是有限元仿真难以直接提供的深层信息。
3. 机理揭示：通过结合解析计算结果与磁动势矢量分析，不仅给出了“损耗如何变化”的量化数据，更从电磁原理上清晰地解释了“为何如此变化”，形成了从现象到本质的完整逻辑闭环。
4. 设计指导明确：研究结论直指工程优化的核心矛盾，明确指出对于10极12槽电机，抑制7次谐波是未来绕组优化降低涡流损耗的关键，为后续研究指明了具体方向。

七、其他有价值内容

论文附录提供了完整的谐波系数求解过程公式（式a1-a32），包括电流密度傅里叶展开系数、各区域磁场系数求解的详细边界条件方程，这为其他研究者复现或基于此模型进行扩展研究提供了完备的数学基础。此外，研究中对四台对比电机给出了详细的参数表（表1、表2）和绕组连接图（图4），确保了案例研究的可重复性和可比性。研究也得到了国家自然科学基金、中国博士后科学基金等项目的支持，体现了其学术价值得到了认可。