类型a：学术研究报告

作者及机构
本文由Brenda M. Kulfan（波音商用飞机集团，西雅图）撰写，发表于2008年1月至2月的《Journal of Aircraft》第45卷第1期，DOI编号为10.²⁵¹⁴⁄₁.29958。

学术背景
该研究属于空气动力学优化设计领域，核心目标是解决几何参数化表示方法在飞行器部件（如机翼、机身、进气道、短舱等）设计中的关键问题。传统几何表示方法存在设计变量多、数值奇异（如机翼前缘斜率无限大）、几何平滑性难以保证等缺陷，限制了优化效率。为此，Kulfan提出了一种名为“类函数/形函数变换”（Class Function/Shape Function Transformation, CST）的通用参数化几何表示方法，旨在通过解析函数精确描述复杂几何形状，同时减少设计变量数量。

研究流程与方法
1. 理论基础构建
- 类函数（Class Function）：定义几何的基本类别，如圆头尖尾翼型（NACA型）、椭圆体、双凸翼型等，数学形式为 ( C{n1,n2}(\psi) = \psi^{n1}(1-\psi)^{n2} )，其中 ( \psi ) 为归一化坐标，( n1, n2 ) 为指数，通过调整指数可生成不同几何类别。
- 形函数（Shape Function）：描述几何的局部特征，通过变换消除数值奇异。例如，机翼表面坐标 ( z(\psi) ) 可表示为 ( z(\psi) = C{n1,n2}(\psi) \cdot S(\psi) + \psi \cdot \Delta z{\text{te}} )，其中 ( S(\psi) ) 为形函数，( \Delta z{\text{te}} ) 为尾缘厚度。

1. 伯恩斯坦多项式（Bernstein Polynomial）应用

   • 形函数通过伯恩斯坦多项式展开：( S(\psi) = \sum_{i=0}^n a_i \cdot \psi^i (1-\psi)^{n-i} )，其中系数 ( a_i ) 为设计变量。
     
   • 该方法将几何分解为若干“基础组件”（如不同位置的凸起或凹陷），通过调整系数控制几何形状，确保设计空间内所有几何均为解析光滑曲面。
     

2. 二维到三维的扩展

   • 机翼建模：将三维机翼视为二维翼型的展向分布，引入剪切和扭转参数，通过类函数和形函数定义每个截面的几何，再通过展向分布函数（如多项式或样条）连接。
     
   • 机身/短舱建模：将横截面形状分解为上下叶（如椭圆或自定义形状），通过类函数控制截面类型，形函数描述局部特征（如鼓包或收缩）。
     

3. 验证与收敛性分析

   • 以RAE2822超临界翼型为例，对比不同阶数伯恩斯坦多项式（BPO）的拟合精度。结果显示，BPO6至BPO8即可高精度复现几何、压力分布和气动力系数（升力、阻力）。
     
   • 计算流体力学（CFD）验证表明，BPO8定义的解析几何与原数值定义的几何在气动性能上完全一致。
     

主要结果
1. 几何表示效率
- CST方法仅需11个变量即可定义复杂翼型（如RAE2822），而传统离散坐标法需上百个变量。
- 三维短舱设计仅需15个变量即可完整描述外部形状和进气道几何。

1. 设计空间覆盖

   • 通过调整类函数指数和形函数系数，可生成从圆头翼型到尖锐前缘的连续几何族，涵盖亚音速至超音速飞行器的设计需求。
     

2. 工程应用案例

   • 短舱设计：通过4个变量控制截面类函数分布，实现从圆形入口到方形喷管的平滑过渡。
     
   • 机翼优化：采用“标量放样”（Scalar Loft）技术，以19个变量定义包含面积、展弦比、扭转分布的完整机翼。
     

结论与价值
1. 科学价值
- CST方法统一了二维和三维几何的数学表示框架，解决了传统方法中设计变量冗余和数值不稳定的问题。
- 伯恩斯坦多项式的引入使得几何优化可系统化扩展（如从低阶到高阶逐步收敛）。

1. 工程应用价值
   
   • 显著降低气动优化计算成本，适用于机翼、机身、进气道等多部件协同设计。
     
   • 在波音等航空企业的实际设计中，已验证其高效性和鲁棒性。
     

研究亮点
1. 创新性方法：首次提出类函数/形函数变换，将几何表示从离散坐标提升为解析函数。
2. 跨领域适用性：适用于翼型、旋翼、机身、管道等多种几何类型。
3. 高效优化潜力：通过少量变量控制全局几何特征，为遗传算法等优化方法提供平滑设计空间。

其他有价值内容
- 文中对比了CST与传统方法（如 Hicks-Henne 参数化）的优劣，指出后者在全局形状控制上的局限性。
- 讨论了超音速翼型（如双凸翼型）和低速翼型（如圆头翼型）在类函数选择上的差异。