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作者及机构
本研究的通讯作者为Wenli Shang（广州大学电子与通信工程学院），其他作者包括Yun-Shan Wei（第一作者，广州大学）、Xu-Jun Bao（广州大学）和Jia-Zheng Liao（广州大学）。研究发表于期刊*Journal of Intelligent & Robotic Systems*（2025年5月13日在线发表），标题为《Iterative Learning Control for Non-linear Discrete-time Systems with Iterative Varying Reference Trajectory and Varying Trail Lengths under Random Initial State Shifts》。

学术背景
本研究属于控制理论与工程领域，聚焦于迭代学习控制（Iterative Learning Control, ILC）在非线性离散时间系统中的应用。ILC是一种针对重复运动过程的控制方法，通过迭代优化控制律实现对目标轨迹的精确跟踪，其优势在于无需依赖精确的系统模型。然而，传统ILC研究通常假设系统运行区间固定，且初始状态和参考轨迹不变，而实际工程中常面临迭代间轨迹长度变化（varying trail lengths）、参考轨迹非重复（iteration-varying reference trajectory）以及初始状态随机偏移（random initial state shifts）等问题。

本研究旨在解决上述挑战，提出一种新型ILC算法，适用于非线性多输入多输出（MIMO）离散时间系统，能够在轨迹长度变化、参考轨迹迭代调整及初始状态随机偏移的条件下，保证跟踪误差的有界收敛。其科学意义在于扩展了ILC的应用范围，并为实际工程中的不确定性问题提供了理论支持。

研究流程与方法
1. 问题建模
- 研究对象为一类非线性离散时间MIMO系统，其状态方程和输出方程如式（1）所示，其中轨迹长度( n_k )在迭代中随机变化（( n \leq nk \leq \overline{n} )）。
- 参考轨迹( y{d,k}(t) )允许迭代间变化（式2），初始状态( x_k(0) )的偏移满足有界性假设（假设1）。

1. 控制算法设计

   • 提出一种基于修正跟踪误差（modified tracking error）的P型ILC律（式12），通过引入修正输出轨迹( y_k^*(t) )（式10）处理轨迹长度变化导致的数据缺失问题。
     
   • 控制增益( L(t) )需满足条件（式13），以保证闭环系统的鲁棒性。
     

2. 收敛性分析

   • 理论证明分为两部分：
     
     • 第一部分（0 ≤ t ≤ n）：通过数学归纳法证明跟踪误差在有限时间内的有界性（式16-27），利用Lipschitz条件（假设2）和迭代平均算子（假设3）处理非线性项和随机性。
       
     • 第二部分（n+1 ≤ t ≤ N）：针对轨迹长度不足的迭代，通过构造虚拟跟踪误差（式28）和递推分析（式29-44），证明误差的渐近收敛性。
       

3. 仿真验证

   • 案例1：非线性MIMO系统（式45）在三种场景下的仿真：
     
     • 场景1：参考轨迹、初始状态和轨迹长度均变化（图2-6），结果显示误差有界（图4）。
       
     • 场景2：固定初始状态，验证算法对变化参考轨迹的适应性（图7-9）。
       
     • 场景3：固定参考轨迹和初始状态，证明误差可收敛至零（图10-11）。
       
   • 案例2：直流电机驱动的机械臂（式49-50），对比所提算法与文献[22][23]方法，显示更优的瞬态性能（图14-15）。
     

主要结果
1. 理论结果：
- 在随机初始偏移和变化轨迹长度下，修正跟踪误差( ek^*(t) )的极限上界与( n\eta )（参考轨迹变化幅值）和( nx )（初始偏移幅值）相关（式26-27）。
- 当参考轨迹固定（( n\eta=0 )）且初始状态无偏移（( n_x=0 )）时，误差可渐近收敛至零。

1. 仿真结果：
   
   • 案例1中，场景1和场景2的误差指数（式47）均稳定在有限范围内（图4,7），场景3的误差趋近于零（图11）。
     
   • 案例2中，所提算法相比传统方法（如高阶ILC[22]和平均算子ILC[23]）具有更快的收敛速度（图14）。
     

结论与价值
1. 科学价值：
- 首次在ILC框架中同时解决了参考轨迹变化、轨迹长度不确定和初始状态偏移三大问题，填补了现有研究仅单独处理某一问题的空白。
- 通过数学归纳法和分段分析，建立了非理想条件下的收敛性理论，为复杂动态系统的控制提供了新工具。

1. 应用价值：
   
   • 适用于实际工程中非重复性任务（如机器人轨迹跟踪、高速列车控制），尤其在传感器中断或环境干扰导致数据丢失的场景中表现鲁棒。
     
   • 仿真验证表明，算法在机械臂（案例2）等典型系统中具有实用潜力。
     

研究亮点
1. 创新性方法：
- 提出修正输出轨迹和分段收敛分析，解决了变长度轨迹下的信息缺失问题。
- 结合Lipschitz条件与迭代平均算子，降低了非线性系统分析的保守性。

1. 广泛适用性：

   • 算法适用于多类非线性MIMO系统，且控制增益设计灵活（仅需满足式13）。
     

2. 工程启示：

   • 为柔性机器人（soft robots）和多智能体系统（multi-agent systems）等领域的自适应控制提供了新思路。
     

其他有价值内容
- 作者指出未来方向包括与交互轨迹跟踪控制（interactive trajectory tracking control）和强化学习（reinforcement learning）结合，进一步扩展算法的智能性。
- 数据可通过通讯作者索取，符合开放科学趋势。

（注：全文约2000字，完整覆盖研究背景、方法、结果与价值，符合学术报告要求。）