刘云鹤与殷长春（Yin Chang-Chun）教授团队在吉林大学地球探测科学与技术学院开展的三维频率域航空电磁反演研究，于2013年12月发表于《地球物理学报》（Chinese Journal of Geophysics）第56卷第12期。该研究聚焦地球物理勘探领域，针对航空电磁数据三维解释中计算效率低、反演精度不足的难题，提出了一种基于优化算法的创新解决方案。

学术背景

航空电磁法（HEM, Helicopter Electromagnetic Method）通过直升机搭载的发射-接收系统探测地下电性结构，但传统反演方法受限于数据量大、正演计算耗时等问题，难以实现高效三维解释。研究团队指出，尽管“footprint”概念（指测点响应仅与其下方有限区域相关）和矩阵分解技术已部分提升了正演速度，但反演算法的效率仍是瓶颈。为此，该研究旨在比较两种主流优化算法——非线性共轭梯度法（NLCG, Nonlinear Conjugate Gradients）和有限内存BFGS法（L-BFGS, Limited-memory Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno）在三维航空电磁反演中的性能差异，并提出动态光滑因子策略以提升反演精度。

研究流程与方法

1. 正演模拟验证
   研究基于交错网格有限差分法离散Maxwell方程，采用拟最小残差法（QMR）求解二次电场的偏微分方程。正演模型参考Newman和Alumbaugh（1995）的经典设计，包含背景场（100 Ω·m）和异常体（30 Ω·m），通过水平共面（HCP）和垂直共轴（VCX）装置模拟900 Hz频率的电磁响应。网格离散为50×50×40单元，计算结果与文献数据误差小于1 ppm，验证了算法的准确性。

2. 反演理论框架

   • 目标函数设计：引入正则化目标函数（公式3），结合数据协方差矩阵（C_d）和模型协方差矩阵（C_m），通过递归自回归算法计算C_m，关联全模型参数。
     
   • 动态光滑因子：反演初期采用大光滑因子（0.5）定位异常体空间位置，后期调整为小因子（0.3）聚焦电阻率细节。
     
   • 梯度计算优化：通过伴随正演（公式16）避免显式计算灵敏度矩阵，单次迭代仅需1次正演和1次伴随正演，显著降低计算量。
     

3. 反演算法对比

   • NLCG：采用Egbert和Kelbert改进的步长搜索技术，每次迭代需3次正演，步长受Wolfe条件约束。
     
   • L-BFGS：基于Nocedal和Wright的步长搜索，利用近似Hessian矩阵修正梯度方向，平均每次迭代仅需2.2次正演，步长稳定性更高。
     

4. 理论模型测试

   • 单异常体模型：L-BFGS在光滑因子0.5→0.3时，异常体位置误差较NLCG减少30%，电阻率反演值更接近真实值（图3）。数据拟合差下降速度比NLCG快50%（图4）。
     
   • 复杂模型（8异常体）：L-BFGS成功识别浅层低阻（30 Ω·m）和深层高阻（2000 Ω·m）异常，而NLCG对高阻体反演偏差达90%（图5）。反演耗时分析显示，L-BFGS在相同拟合精度下节省50%计算时间。
     

主要结果与结论

1. 算法性能：L-BFGS在计算效率（单点单频反演耗时528秒 vs. NLCG的720秒）和模型分辨率（高阻体反演误差<15%）上均优于NLCG，尤其适合大规模反演问题。
   
2. 动态光滑因子有效性：变光滑因子策略使异常体定位误差降低40%，电阻率反演精度提升25%。
   
3. 技术局限性：航空电磁对高阻异常敏感度不足，反演电阻率最高仅恢复至真实值的15%（2000 Ω·m→300 Ω·m），需结合多频数据改进。
   

科学价值与应用亮点

• 方法创新：首次将L-BFGS与动态光滑因子结合应用于航空电磁三维反演，为海量数据解释提供高效工具。
  
• 工程意义：研究证实“footprint”分区反演与矩阵分解技术联用是未来突破方向，为移动平台多源电磁数据实时处理奠定基础。
  
• 算法普适性：提出的梯度修正策略（公式14）可扩展至海洋电磁（CSEM）和大地电磁（MT）等领域。
  

研究特色

1. 跨学科融合：将数值优化（L-BFGS）与地球物理反演结合，解决了传统GN（Gauss-Newton）法内存不足的缺陷。
   
2. 可扩展性：开源的正演核心代码（QMR求解器）支持后续算法迭代，如引入GPU并行加速。
   
3. 工业导向：针对航空电磁勘探中“快速解释”需求，提出了一套完整的精度-效率平衡方案。
   

该研究为三维电磁反演提供了新的方法论框架，其动态约束思想和算法对比结论对同类研究具有重要参考价值。