本文介绍一项发表于《Geophysics》期刊2025年90卷第6期（11-12月）的研究，题为“使用自适应代数多分辨率采样方法进行三维大地电磁反演”。该研究的主要作者包括来自中国西南交通大学、中南大学，以及日本东京科学大学、东北大学的李剑（Jian Li）、刘建新（Jianxin Liu）、小川泰雄（Yasuo Ogawa）、郭荣文（Rongwen Guo，通讯作者）、王旭龙（Xulong Wang）、王永飞（Yongfei Wang）、周可可（Keke Zhou）和徐敬道（Jingdao Xu）。研究旨在解决传统三维大地电磁反演在处理大规模数据集时面临的计算成本高、耗时长的挑战。

大地电磁法是一种通过测量天然电磁场来探测地球内部电导率结构的地球物理方法，广泛应用于从局部到大陆尺度的地质调查。其核心是三维反演问题，即利用稀疏的地表电磁场数据重建地下三维电导率分布。由于未知数众多，该问题通常被构建为一个优化问题，并通过梯度驱动算法迭代求解。其中，非线性共轭梯度法因其避免显式计算和存储庞大的灵敏度矩阵而被广泛采用。然而，该方法的计算瓶颈在于每次迭代都需要求解正演问题及其伴随问题。传统的基于交错网格有限差分法的正演模拟，为了精确刻画浅部结构，通常采用精细的水平网格，并且这种网格会均匀延深至模型底部，导致线性方程组规模过大，计算效率低下。

为解决上述问题，本研究开发了一种新颖的正则化代数多分辨率采样反演框架。该框架结合了两项关键技术：自适应代数多分辨率采样方法（Adaptive Algebraic Multi-Resolution Sampling, AMRS） 与正则化技术（Regularization Technique）。AMRS方法的核心思想是：电磁场随深度扩散会变得越加平滑，因此可以使用更粗的网格来准确描述深部的场，而无需在整个模型域使用均匀的精细网格。与传统多分辨率方法需要生成物理上的子网格不同，AMRS方法通过矩阵乘法在代数层面实现“抽象”的降采样。具体而言，在原始精细网格上离散化控制方程后，通过一系列稀疏的插值矩阵将原始网格上的电场向量表示为一系列子采样网格上电场向量的组合。然后，通过左乘一个对角矩阵来剔除那些在子采样中被省略的网格边所对应的方程行，从而得到一个规模大幅减小的线性系统。求解此系统后，再通过插值矩阵恢复所有原始网格边上的场值。这种方法无需处理不同分辨率子网格之间的“悬挂”边问题，实现简便。

更进一步，本研究采用了自适应策略来确定不同频率（对应不同探测深度）下的最优子采样方案。流程是：首先根据趋肤深度大致划分不同采样级别的区域；在反演过程中，每隔若干迭代步，会基于精细网格的解作为参考，计算当前AMRS网格解的归一化均方根差。如果误差超过预设上限，则增加浅部精细网格区域的厚度（从最深部的子区域挪用）；如果误差低于预设下限，则减少浅部精细网格区域的厚度（将多余的厚度分配给最深部的子区域）。通过这种自适应调整，可以在保证建模精度的前提下，最大化地减少每个频率正演问题的未知数数量。对于“两个相邻块体”模型和地形模型，计算自由度分别减少了38%-58%和36%-52%。

另一项关键技术是正则化技术，旨在解决低频计算中迭代求解器因电流不守恒而导致的收敛缓慢问题。传统的做法是在求解旋度-旋度方程后，额外求解一个散度校正方程来强制电流守恒。本研究将电流守恒方程以一个加权梯度的形式直接整合到旋度-旋度方程中，形成一个正则化的控制方程。这种方法在数学上等价于在方程中增加了一项正则化项，显式地强制了电流散度为零的条件，从而显著改善了迭代求解器（如双共轭梯度稳定法）的收敛速度，无需单独的校正步骤，简化了数值实现。该正则化技术同样应用于伴随问题的求解中。

整个反演算法基于NLCG框架构建，并采用了频率-极化联合并行化策略。工作流程主要包括：1）初始化模型参数；2）对于每个频率和极化模式，使用自适应AMRS方法和正则化技术求解正演问题，计算模型响应和数据拟合差；3）求解伴随问题，计算目标函数关于模型参数的梯度；4）利用NLCG算法确定搜索方向和步长，更新模型参数；5）重复迭代直至达到目标均方根误差或最大迭代次数。在每次迭代的线搜索过程中，模型会进行两次试验性更新以确定最优步长。

研究通过两个合成数据模型和一个实际数据案例验证了所提算法的可靠性和效率。第一个合成模型是“两个相邻块体”模型，包含一个低阻体和一个高阻体侵入体。第二个是复杂地形模型，在起伏地形下嵌入了低阻和高阻块体。将所提出的正则化AMRS反演 与传统的NLCG反演（使用散度校正）以及仅使用正则化技术的反演（不使用AMRS）进行了对比。结果显示，三种方法最终恢复的地下电阻率结构基本一致，表明正则化AMRS反演没有引入明显偏差。在计算效率上，正则化AMRS反演表现出显著优势：对于两个相邻块体模型，其反演时间分别为传统NLCG反演和正则化反演的1.47小时、6.32小时和2.97小时，效率分别提升约3.3倍和1.0倍；对于地形模型，反演时间分别为1.20小时、5.54小时和1.98小时，效率分别提升约3.6倍和0.65倍。收敛曲线显示三种方法均能稳定收敛至目标拟合差，且自适应AMRS过程的建模误差始终控制在5%以内。

最后，研究将算法应用于美国卡斯卡迪亚地区的实际大地电磁数据。反演区域覆盖广阔，初始网格产生约201万个自由度。应用自适应AMRS后，不同频率的自由度减少了33%-58%。正则化AMRS反演耗时19.50小时，而传统NLCG反演和正则化反演分别耗时80.52小时和40.50小时，效率提升分别达3.1倍和1.1倍。反演结果在10公里、25公里、50公里和100公里深度的切片上，三种方法呈现出高度一致的电阻率结构特征，数据拟合情况也基本相当，证明了该方法处理实际大规模反演问题的能力。

本研究的结论是：成功开发了一种集成了自适应代数多分辨率采样和正则化技术的三维大地电磁反演新算法。该算法能根据电磁场在不同频率（深度）的扩散特性，自适应地构建计算网格，在保证精度的前提下大幅降低正演与伴随问题的规模；同时，通过正则化技术有效保障了低频计算中电流守恒条件，加速了迭代求解过程。两项技术的结合显著提升了大尺度三维大地电磁反演的计算效率。

研究的亮点与价值在于：1）方法创新性：提出了AMRS这一纯代数操作的多分辨率实现方式，避免了物理子网格生成的复杂性，易于在结构化网格上实现并与反演结合。2）自适应策略：引入了基于建模误差反馈的自适应机制，实现了不同周期反演网格分辨率的动态优化管理。3）效率显著提升：通过合成和实际数据验证，新算法在保证结果可靠性的前提下，将反演计算效率提升了数倍，为解决更大规模、更复杂的三维大地电磁反演问题提供了实用工具。4）应用潜力：研究表明该框架具有良好的稳健性，能处理含地形等复杂情况，并具备向各向异性介质、以及将多分辨率思想应用于模型参数空间以进一步压缩问题规模的发展潜力。

此外，文中指出，虽然当前实现基于结构化网格，但正则化散度自由方法的思想同样可应用于非结构化网格，尽管需要根据网格拓扑重新构造离散散度和梯度算子。论文也对未来可能通过放宽精度控制阈值以进一步提升计算效率的方向进行了展望。这项研究得到了中国国家自然科学基金等多个项目的资助。