关于扩展ERANOS 2.3N燃耗敏感性分析能力的研究报告
一、 研究作者、机构与发表信息
本研究报告基于一份发布于2025年12月的预印本论文（提交至*Progress in Nuclear Energy*期刊），该论文由来自意大利和法国多个研究机构的学者合作完成。主要作者包括来自University of Bologna的Matteo Stanzani（通讯作者）、Italian National Agency for New Technologies, Energy and Sustainable Economic Development (ENEA) 的研究人员、以及法国原子能和替代能源委员会（CEA）的Giorgio Valocchi, Jean Tommasi, Laurent Buiron。研究团队还包括来自National Institute for Nuclear Physics (INFN)的成员。该论文已可在SSRN（社会科学研究网）预印本平台获取（ID: 5910592），目前尚未经过同行评审。
二、 学术背景与研究目的
本研究属于核反应堆物理与计算领域，核心是核反应堆燃耗（burnup）计算中的敏感性与不确定性分析（Sensitivity and Uncertainty Analysis）。在进行核反应堆设计时，输入核数据（如微观截面）的不确定性会传递并影响关键设计参数的预测，例如有效增殖因子（effective multiplication factor）或燃耗结束时的核素浓度。量化这种不确定性对于优化安全裕度、满足监管要求和降低成本至关重要。
敏感性分析的核心是计算敏感性系数，它衡量了响应参数（如燃耗后的反应性）相对于微小输入参数（如微观截面）变化的相对变化率。计算敏感性系数主要有两种方法：直接扰动法（Direct Perturbation, DP）和微扰理论（Perturbation Theory, PT）。直接扰动法直观但计算效率低下，需要对每个参数进行独立的扰动计算。相比之下，广义微扰理论（Generalized Perturbation Theory, GPT）是一种系统且高效的方法，能够同时计算多个敏感性系数，且能提供对物理贡献（直接效应和间接效应）的深入理解。
在本研究开展前，用于快堆分析的确定性程序套件ERANOS 2.3n虽已具备稳态问题的GPT敏感性分析能力，但其燃耗敏感性分析功能存在局限。其默认版本仅支持“微扰解耦”（perturbatively uncoupled）的配置，即燃耗方程（Bateman方程）与中子通量方程（Boltzmann方程）在微扰层面是分离的。这意味着燃耗敏感性的间接项中不包含中子通量变化带来的影响（即通量强度和形状效应），这限制了敏感性系数所携带物理信息的完整性。CEA内部一个未发布的ERANOS版本已实现了部分和完全微扰耦合的功能。本研究的目标是：在保持ERANOS 2.3n源代码不变的前提下，利用用户编程语言（Language Utilisateur, LU）扩展其功能，使其能够执行“完全微扰耦合”（fully perturbatively coupled）的燃耗敏感性分析，并开发内置的直接扰动工具进行验证。 研究旨在通过与另一先进的确定性程序APOLLO3®进行交叉比对，来验证新实现功能的正确性和可靠性。
三、 详细工作流程
本研究的工作流程主要围绕算法实现、代码开发、验证测试以及对比分析展开，可分为以下几个核心步骤：
1. 理论框架与算法扩展： 研究基于Williams (1979a)提出的变分广义微扰理论（Variational GPT）框架，采用准静态近似（quasi-static approximation）处理燃耗问题的非线性耦合。为了在ERANOS 2.3n中实现完全微扰耦合，研究人员详细推导了相关的约束泛函。该泛函不仅包含描述核素浓度演化的Bateman方程约束，还引入了功率归一化方程约束（影响通量强度）和伪稳态Boltzmann方程约束（影响通量形状）。通过使该约束泛函对于通量、浓度等变量变分驻定，可以定义一系列拉格朗日乘子（如广义伴随通量γ*， 伴随功率p*等），并最终将敏感性系数分解为直接项和三个间接项：演化项（sn*， 来自Bateman方程）、功率项（sp*， 来自功率归一化方程）和通量形状项（sγ*， 来自Boltzmann方程）。
2. 基于LU的程序开发与集成： 这是本研究技术实现的核心。研究团队并未修改ERANOS的源代码（除了一处与Bateman方程约束间接项计算相关的微小修正），而是完全利用其提供的用户编程语言LU开发了一系列相互连接的新程序。这些程序实现了完全微扰耦合GPT敏感性分析所需的所有步骤，包括： * 前后向计算循环： 算法需要先进行前向循环，求解直接燃耗方程和中子价值函数；再进行后向循环，利用前向结果求解伴随燃耗方程（伴随Bateman方程、伴随Boltzmann方程）并计算敏感性系数。 * 拉格朗日乘子的计算： 开发了计算伴随浓度n*、伴随功率p*、广义伴随源q*和广义伴随通量γ*的LU程序。其中，求解广义伴随通量γ*（涉及求解非齐次伴随输运方程）是技术难点。研究采用了将正负源项分离、分别求解两个非负源方程后再相减的策略，以确保在ERANOS的BISTRO输运求解器中的数值稳定性。 * 敏感性项的组装： 开发程序将计算出的拉格朗日乘子与相应的算子结合，组装出完整的直接敏感性项和三个间接敏感性项。 * 内置直接扰动工具的开发： 这是一个重要的创新点。团队开发了新的LU程序，能够在燃耗计算的任何时间点施加直接扰动。这不仅可用于验证GPT计算的总敏感性系数，还能用于单独验证每个直接项和间接项的贡献，从而剖析不同物理通道（直接、演化、通量强度、通量形状）对特定敏感性的主导作用。
3. 测试案例设计与计算： 研究设计了两个复杂性递增的测试案例来验证新功能。 * 案例1z（简单验证）： 一个无限大、均匀的XY几何反应堆模型。包含238U、239Pu、240Pu和129I四种核素，采用简化的嬗变链。燃耗期为28天，分为2个步长。该案例物理清晰，旨在无误差补偿风险下，验证各个间接贡献项的正确性。 * 案例9z（复杂验证）： 一个有限、异质的反应堆模型，尺寸为55x55 cm²，包含9个燃耗区，具有三种不同的铀富集度。几何更复杂，边界条件包含反射和真空。燃耗期为140天，分为10个步长。该案例旨在模拟更接近实际反应堆栅格的情况，测试实现方案的鲁棒性。 两个案例均采用为快堆设计的6群能量离散结构，并使用从JEFF-3.1核数据库通过ECCO栅元程序生成的相同微观截面数据，以确保比较的公平性。
4. 交叉比对与验证分析： 将新开发的ERANOS 2.3n GPT工具的计算结果与以下两方面进行系统比对： * 与APOLLO3®的交叉比对： APOLLO3®是CEA开发的另一先进确定性程序，其燃耗GPT敏感性分析功能已完全实现。研究将两个案例中，针对不同响应（如239Pu的最终浓度、燃耗结束时的有效增殖因子kf）和不同输入参数（各种核素的微观截面）的GPT敏感性系数进行对比，计算相对差异ε。 * 与内置直接扰动工具的自我验证： 对于选定的敏感性子集，使用新开发的ERANOS直接扰动工具计算其总敏感性及各分项，并与同一程序内GPT计算的结果进行比对，以检验GPT各项计算的内部一致性。 * 数据与误差分析： 对比较结果进行了详细分析。不仅关注总敏感性系数的差异，还深入分析各间接项（sn, sp, sγ*）的贡献和差异。对于差异较大的情况，研究进行了根源探究，例如分析了弹性散射截面敏感性计算中因两项相减导致“数值抵消”的潜在病态问题。
四、 主要研究结果
1. 案例1z（均匀无限反应堆）结果： * 总体良好一致性： 对于绝大多数敏感性系数，ERANOS 2.3n与APOLLO3®的GPT结果表现出良好的一致性，相对差异|ε|通常在0.5%至3.5%之间。这初步证明了新实现的可靠性。 * 间接项的物理验证： 通过直接扰动法对主导贡献不同的三个敏感性（对238U俘获、238U裂变、240Pu俘获）进行项-by-项验证。结果显示，无论该间接项是主导还是次要贡献，GPT计算的相关项（sn, sp, sγ*）与直接扰动法结果均高度吻合（大部分|ε| < 2%），表明各项物理贡献被准确捕获。例如，239Pu浓度对238U俘获截面的敏感性主要由正的演化项（sn*）主导，符合238U通过俘获产生239Pu的物理过程。 * 发现并诊断高差异个案： 研究发现，对弹性散射移除截面的敏感性系数在两个程序间出现了系统性高差异（约-48%）。通过深入分析ERANOS中的计算公式（公式(18)），发现该敏感性是两项相近数值的差值，在均匀无限模型这种特殊配置下，这两项几乎相等，导致计算结果对数值误差极度敏感，出现了“病态”的数值抵消现象。 * 通量形状项的稳健性： 在对240Pu俘获截面的敏感性分析中，通量形状项（sγ*）是主导贡献（占89%），而其GPT与DP结果的差异很小（ε≈0.6%），表明求解广义伴随通量的子程序功能正常。
2. 案例9z（异质有限反应堆）结果： * 复杂性提升带来差异减小： 对于最终239Pu平均浓度的敏感性，大多数系数的|ε|仍低于3%。重要的是，在案例1z中出现高差异的弹性散射敏感性，在更复杂的案例9z中差异变得很小。这表明之前观察到的病态问题在更现实的、空间异质的配置中并不突出。 * 对新差异的探究： 在案例9z中，对240Pu和129I俘获截面的敏感性出现了相对较高的差异（约10%和23%）。然而，使用ERANOS自身的直接扰动工具验证发现，其GPT结果与DP结果高度一致（差异<0.2%）。这表明差异很可能源自ERANOS与APOLLO3®在伴随演化数值处理上的细微差别，而非ERANOS新实现的错误。 * 对复杂响应的验证： 将响应改为燃耗结束时的有效增殖因子kf（其伴随浓度计算更复杂）。结果显示，除个别涉及129I的微小系数外，所有主要的间接敏感性项在两个程序间的一致性非常好（|ε| < 4%，主要项%）。之前在239Pu浓度响应中出现的对240Pu俘获的10%差异，在kf响应中降至0.4%以下。这进一步表明，随着问题复杂性（模型和响应）的增加，数值问题的影响趋于减弱。
3. 内置直接扰动工具的价值体现： 研究开发的内置直接扰动工具被证明是强大的诊断和验证手段。它成功地将GPT计算的总敏感性分解为各物理贡献项，并与GPT的相应项进行了精确比对，为GPT实现的正确性提供了内部证据。尤其是在解释ERANOS与APOLLO3®之间差异时，该工具帮助区分了“实现错误”和“数值方法差异”。
五、 结论与研究意义
本研究成功扩展了ERANOS 2.3n程序套件的能力，使其能够基于变分广义微扰理论进行完全微扰耦合的燃耗敏感性分析。实现主要依靠开发新的LU程序，基本无需改动源代码，具有良好的可维护性和可扩展性。
科学价值与应用价值： 1. 方法学验证与工具完善： 研究通过严格的交叉比对（APOLLO3®）和内部验证（直接扰动），证明了新实现GPT算法的正确性和可靠性。为ERANOS用户社区提供了一个经过验证的、功能更强的燃耗敏感性分析工具。 2. 深入理解敏感性来源： 完全微扰耦合的实现使得研究人员能够量化并区分影响燃耗响应的不同物理机制：直接核反应、核素库存演化、通量强度变化以及通量能谱（形状）变化。这对于深入理解反应堆物理过程、指导设计优化（如确定哪些核数据需要更精准的测量）具有重要意义。 3. 支持不确定性量化： 更完整、准确的敏感性系数是进行核数据不确定性传播分析的基础。本研究扩展的功能将提升基于ERANOS的燃耗不确定性量化结果的可靠度，从而为反应堆设计提供更坚实的决策依据。 4. 提供诊断与教学工具： 内置的直接扰动工具不仅用于验证，本身也是一个有价值的独立功能。它允许用户以“手动”方式探索敏感性，有助于教学和对复杂物理现象的剖析。
六、 研究亮点
七、 其他有价值内容
论文附录提供了重要的技术细节，包括： * 角括号符号规则（附录A）：明确了文中使用的积分符号表示法。 * 广义伴随通量的数值求解策略（附录B）：详细解释了为解决ERANOS中非齐次方程收敛性问题而采用的正负源分离方法。 * 最终伴随浓度的计算公式（附录C）：给出了针对不同类型响应（如最终核素浓度、有效增殖因子、反应性等）的最终伴随浓度的具体表达式。其中指出，可以利用程序已有的标准微扰理论（SPT）敏感性计算功能来高效推导某些伴随量，体现了对现有功能的巧妙复用。 * 直接扰动方法的详细描述（附录E）：完整阐述了研究中使用的直接扰动方法的原理和实现步骤。
这些附录内容不仅支持了正文的论点，也为其他研究者理解和复现该方法提供了必要信息。研究团队在文末展望中表示，计划在未来增加更多工具，并最终将新方法应用于铅冷快堆ALFRED等真实案例的完整燃耗敏感性与不确定性分析中。