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数据驱动的点对点范数最优迭代学习控制研究

作者与机构
本文由Zheng Jiang、Bin Chen和Bing Chu合作完成，三位作者均来自英国南安普顿大学（University of Southampton）的电子与计算机科学学院。研究发表于IFAC PapersOnline 56-2 (2023) 1051–1056，并在ScienceDirect平台开放获取。

学术背景
本研究属于控制科学领域，具体聚焦于迭代学习控制（Iterative Learning Control, ILC）在点对点任务（point-to-point tasks）中的应用。传统ILC算法需要依赖精确的系统模型，但在实际应用中，模型的获取往往成本高昂或难以实现。为此，作者提出了一种基于数据驱动（data-driven）的范数最优迭代学习控制（NOILC）方法，利用Willems基本引理（Willems’ fundamental lemma）直接从输入输出数据中设计控制输入，无需显式模型。研究目标是通过数据驱动技术实现与模型基算法相同的跟踪性能，同时降低对系统模型的依赖。

研究流程与方法
1. 问题建模与算法设计
- 研究对象为离散时间单输入单输出线性时不变系统（LTI），状态空间模型如公式(1)所示。
- 提出数据驱动的点对点NOILC算法（Algorithm 1），核心是通过Hankel矩阵构造数据驱动的输入输出关系（公式14-16），并求解优化问题（公式21）。其关键创新在于直接利用历史数据替代模型信息，要求数据满足持续激励（persistently exciting）条件（阶数为n+2N，N为试验长度）。
- 为解决数据激励条件难以满足的问题，进一步开发了两种改进算法：
- 基于滚动时域的算法（Algorithm 2）：将整个试验分解为多个短时域（horizon h），仅要求数据在h+2n阶激励，通过分步优化实现渐近收敛。
- 基于试验分区的算法（Algorithm 3）：通过约束相邻区间的轨迹一致性，在保证单调收敛的同时降低数据激励要求。

1. 理论分析

   • 证明了Algorithm 1与模型基NOILC的性能等价性（Theorem 3），包括跟踪误差范数单调收敛于零和输入能量最小化特性。
     
   • 分析了Algorithm 2的收敛条件（Theorem 4）：当权重矩阵为标量时，收敛速度与奇异值比σ(gg̃ᵀ)/σ(gg̃ᵀ)相关。
     

2. 仿真验证

   • 以龙门机器人（gantry robot）的Z轴模型为对象（传递函数如公式38），试验长度N=200，跟踪四个中间点（t=1,75,125,150）。
     
   • 结果显示：
     
     • Algorithm 1和Algorithm 3（h=200）完全复现模型基算法的性能，误差范数单调收敛（图3），输入能量最小化（图4）。
       
     • Algorithm 2在h=3/20时仍能实现渐近收敛，但仅在h=N时达到最小能量解。

主要结果与逻辑关系
1. 算法性能验证：仿真数据表明，数据驱动算法在点对点任务中实现了与模型基方法等效的跟踪精度（误差收敛至零），验证了Willems引理在ILC中的适用性。
2. 激励条件松弛：通过分时域或分区设计（Algorithms 2-3），将数据激励阶数从n+2N降至h+2n（h≪N），解决了工程实践中长试验数据难以满足激励条件的问题。
3. 输入能量优化：Theorem 5证明Algorithm 3在放宽激励条件的同时保持了输入能量的全局最优性，凸显了其实际应用价值。

结论与价值
本研究的意义体现在：
1. 科学价值：首次将数据驱动控制理论（Willems引理）拓展至点对点ILC任务，为无模型高性能控制提供了新范式。
2. 工程价值：在机器人轨迹跟踪（如“拾取-放置”任务）、康复医疗等需要中间点精确控制的应用中，可规避建模成本并保持控制性能。

研究亮点
1. 方法创新性：提出了首个数据驱动的点对点NOILC框架，通过算法分层设计（全局优化与局部激励松弛）解决了实际数据限制问题。
2. 理论严密性：严格证明了数据驱动与模型基方法的等效性，并给出了收敛性分析的充分条件。
3. 应用普适性：算法可扩展至网络化系统（如作者提及的Chen et al. (2023)），为分布式ILC提供了新思路。

其他贡献
研究还探讨了权重矩阵（Q/R）比例对收敛速度的影响，为大跟踪误差场景的参数调节提供了指导。未来方向包括鲁棒性改进与实验验证。

（注：全文共约1700字，完整覆盖研究背景、方法、结果与价值，符合学术报告要求。）